primtal

Hos euklid findes der et bevis for, at der findes uendeligt mange primtal

Antager vi, at p₁,p₂,p₃,...,p_n var samtlige primtal, skulle p₁·p₂·p₃·...·p_n+1 være et sammensat tal. Men dels er p større end noget primtal, dels går intet primtal op i p. Men det er en umulighed, så antagelsen om endelig mange primtal må forkastes

det er jo det samme som der står i det billede jeg delte.

Det er et såkaldt modstridsbevis. I et sådant bevis er strategien følgende: Man vil vise at et eller andet udsagn er sandt (fx udsagnet: "der findes uendeligt mange primtal"). For at gøre dette, antager man at udsagnet er falsk, og så udleder man fra denne antagelse en konklusion som strider imod noget man allerede ved er sandt. Hvis man kan gøre dette, må ens indledende antagelse være forkert, dvs. udsagnet må være sandt.

Beviset starter med at antage at udsagnet "der findes uendeligt mange primtal" er falskt. Men det må betyde at der kun findes endeligt mange primtal, så vi kan lave en liste over dem alle; lad os sige at de er p₁, p₂, ..., p_n. Vi betragter så tallet p = p₁·p₂···p_n+1. Dette tal er større end hver af p₁, p₂, ..., p_n, så det kan ikke findes blandt disse tal; altså er dette ikke et primtal. Men så er det jo et sammensat tal, hvilket betyder at der er et primtal der går op i det. Dette er dog umuligt, for hver af p₁, p₂, ..., p_n efterlader en rest på 1 når de divideres op i p, så ingen af dem går op i p. Vi er nået frem til en modstrid, altså må udsagnet "der findes uendeligt mange primtal" være sandt.

Og det er også den mest simple måde at forklare det på, men jeg kan prøve.

Der findes et bevis for uendeligt mange primtal, men det kan også bringes i tvivl. Derfor må det forkastes.

#2

Ethvert helt tal større end 1 kan skrives som et produkt af primtal. Antager vi, at der kun findes endeligt mange primtal, konstruerer man ud fra dem et helt tal, som ingen af disse primtal går op i. Men så må dette nye tal jo selv være et primtal, som ikke er blandt de endeligt mange primtal, vi havde opstillet, og vi er nået til en modstrid med antagelsen om, at der kun findes endeligt mange primtal.