Optimering

Beregn længden L af den sorte streg udtrykt ved x og r (to halvcirkler med radius r og to rette linier hver med længden x). Benyt betingelsen L = 50 cm til at udtrykke for eksempel x ved r.

Beregn så arealet A af tagrendens tværsnit (et rektangel med siderne x og 4r plus to halvcirkler med radius r) og indsæt heri x udtrykt ved r. Find så maksimum for funktionen A(r).

Tusind tak for hjælpen. Jeg er kommet frem til følgende (har skåret mellem regningerne væk):

50=2x+2*pi*r     <=>   x=25-pi*r

A(r)=2pi*r+2x+4r    <=>  A(r)=2pi*r+2(25-pi*r)+4r    <=>   A(r)=50+4r

r=12.5 og x=14.27

Dit udtryk for arealet ser ikke rigtigt ud. Man har

        A = x·4r + π·r²

hvori man så indsætter x = 25 - πr , dvs

        A(r) = (25 - πr)·4r + π·r²

som er et 2.-gradspolynomium i r , hvis graf er en parabel, der vender grenene nedad. Bestem nu parabelens toppunkt.

Det var en skrækkelig regnefejl jeg havde fået lavet der! Tror jeg har den nu. Har valgt at differentiere i stedet for toppunktsformlen, men det skulle give det samme resultat. Synes bare det giver mig et bedre overblik.

 A(r) = (25 - πr)·4r + π·r2  ⇔  A(r) = -3π·r2 + 100r

A'(r) =  - 6πr + 100r ⇔ - 6πr + 100r = 0 ⇔ r = 100 / (6π)

x =  25 - πr  ⇔  x =  25 - π(100 / (6π))   ⇔  x = 8,3333

Tusind tak for din hjælp!! Optimering trækker altid tænder ud på mig

Fik ikke skrevet differentieringen ordentlig ind. mener selvfølgelig:

A'(r) =  - 6πr + 100 ⇔ - 6πr + 100 = 0 ⇔ r = 100 / (6π)