Matematik

Omskrivning

10. januar 2015 af Haxxeren - Niveau: Universitet/Videregående

Hej,

Hvis man antager, at a/b >> 1, hvordan man kan så vise, at:

√(1 + (a/b)²) - a/b ≈ 1/2 · b/a?

Tak på forhånd.

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. januar 2015 af peter lind

Mon det ikke snarere er a/b << 1 og at højre side skal være a/b eller skal der på venstre side stå (b/a)² ?

Hvis det er tilfælde kan du foretage en Taylorrækkeudvikling af kvrod(1+x) og dernæst sætte x= a/b (b/a)

Svar #2
10. januar 2015 af Haxxeren

Jeg har i hvert fald skrevet det rigtigt efter opgaven.

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. januar 2015 af Heptan

For a/b >> 1 er (a/b)² >> 1 og √(1 + (a/b)²) - a/b ≈ 0

Brugbart svar (0)

Svar #4
10. januar 2015 af peter lind

Ved brug af en Taylorrækkeudvinkling for kvrod(1+x) med x= (b/a) fås

kvrod(1+(a/b)² ) = (a/b)*kvrod( 1+(b/a)²) ≈ (a/b)(1+½((b/a)² -(b/a)⁴/4 ... ) = a/b +½a/b -...

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)

Hvis a/b >> 1 , er b/a << 1 og man har

$\sqrt{1+\left(\frac{a}{b}\right)^{2}}-\frac{a}{b}=\frac{a}{b}\sqrt{1+\left ( \frac{b}{a} \right )^{2}}-\frac{a}{b}\approx \frac{a}{b}\left ( 1+\frac{1}{2} \left ( \frac{b}{a} \right )^{2}\right )-\frac{a}{b}=\frac{1}{2}\cdot \frac{b}{a}$

Svar #6
11. januar 2015 af Haxxeren

Hvordan lavede du lige det dér nummer efter ≈ ??

Svar #7
11. januar 2015 af Haxxeren

De første 3 led fra Taylorudviklingen for √(1+x), får jeg til (a = 0):

1/2x

-1/8x²

Er det ikke rigtigt?

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)

Jo, det er korrekt, og jeg benytter kun de to første led, 1 + (1/2)x , hvor x = (b/a)² .

Svar #9
11. januar 2015 af Haxxeren

Ok, men hvad har denne omskrivning at gøre med oplysningen om a/b >> 1? Kan ikke helt se sammenhængen.

Brugbart svar (0)

Svar #10
11. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)

Når a/b >> 1 , er 0 < b/a << 1, og man kan så bruge rækkeudviklingen for √(1+x) på √(1 + (b/a)²) .

Brugbart svar (0)

Svar #11
11. januar 2015 af Heptan

$\sqrt{1+\left(\frac{a}{b}\right)^{2}}} =\frac{a}{b}\sqrt{1+\left ( \frac{b}{a} \right )^{2}}$

Hvordan hænger det her sammen? Er det den (a/b)'te rod eller er det et produkt?

Svar #12
11. januar 2015 af Haxxeren

#10

Hvad hvis a/b << 0, kunne man så ikke lave denne rækkeudvikling?

#11

Det er et produkt. Benyt definitionen:

a √(b+ c) = √(a²b + a²c)

Brugbart svar (0)

Svar #13
11. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)

#11

Det er, som Haxxeren også nævner, et produkt. Hvis der var tale om den (a/b)'te rod ville det de således ud

$\sqrt[\frac{a}{b}]{1+\left ( \frac{b}{a} \right )^{2}}$

Brugbart svar (0)

Svar #14
11. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)

#12

Hvis (a/b) < 0 er (a/b)² stadig > 0 , men der skal så stå |a/b| når det hives uden for rodtegnet som en faktor.

Svar #15
11. januar 2015 af Haxxeren

#14

Lad mig spørge på en anden måde så. Hvornår må man så ikke lave en taylorudvikling som vi har gjort?

Brugbart svar (0)

Svar #16
11. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)

#15
Taylorudviklingen er konvergent for |x| < 1

Svar #17
11. januar 2015 af Haxxeren

#16

Ja, ok. Hvis ikke jeg fik at vide, at a/b >> 1, så måtte jeg altså stadigvæk lave den taylorudvikling som vi har gjort ovenfor.

Brugbart svar (1)

Svar #18
11. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)

#17

Man kan Taylorudvikle lige så meget, man har lyst til, men rækken er kun konvergent for |x| < 1, dvs her for |b/a| < 1 , og altså dermed. |a/b| > 1 . For at rækken skal være af god nøjagtighed med blot 1.-ordensleddet, skal der gælder |a/b| >> 1 .

Svar #19
16. januar 2015 af Haxxeren

#18

Ok, tak.

Skriv et svar til: Omskrivning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.