Matematik

Induktion af matrix

04. februar 2015 af harruna (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Der er ikke en der kan hjælpe med lidt induktion? Det er noget stykke tid siden jeg har arbejdet med det, og er virkelig i tvivl om hvordan man kan vise det? i dokumentet. Er kan ikke finde ud af hvordan det skal gøres når jeg anvender n + 1.

Vedhæftet fil: matrix.docx

Brugbart svar (1)

Svar #1
04. februar 2015 af Andersen11 (Slettet)

Man skal vise, at

$\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 0& 1 \end{pmatrix}^{n}=\begin{pmatrix} 1 & n\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

for ethvert naturligt tal n ∈ N. Dette kan vises ved induktion efter n. Man observerer først, at ligningen er opfyldt for n = 1. Man antager nu, at ligningen gælder for et naturligt tal n. Vi har så

$\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 0& 1 \end{pmatrix}^{n+1}=\begin{pmatrix} 1 & n\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 0& 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &n+1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

der viser, at ligningen er opfyldt for n+1 .

Svar #2
04. februar 2015 af harruna (Slettet)

Tror ikke helt jeg er med. Altså er godt klar over at man tjekker for n=1 først, og ser at lighedstegnet passer. Derefter antage at det også gælder for n+1. Men når vi så bare indsætter det på n's plads, får vi så 2 matricer ganget, som vi så kan gange sammen og se at det er opfyldt ?

Brugbart svar (1)

Svar #3
05. februar 2015 af Andersen11 (Slettet)

Nej. Man antager at ligningen gælder for n, og så viser man, at den også gælder for n+1. Dette trin er vist i #1.

$\begin{pmatrix} 1& 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{n+1}=\begin{pmatrix} 1& 1\\ 0& 1 \end{pmatrix}^{n}\cdot \begin{pmatrix} 1& 1\\ 0& 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &n+1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Skriv et svar til: Induktion af matrix

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.