Underrum

Man finder let, at kernen for C er underrummet

        Ker(C) = span{(1;-1;1)}

Billedrummet C(R³) har da dimensionen 2. Bestem to lineært uafhængige vektorer, der begge er ortogonale på (1;-1;1). C(R3) vil da være underrummet udspændt af disse to vektorer.

Du mener formodentlig, at du skal finde billedrummet ved den lineære afbildning givet ved C. Find rangen af C. Den er 2. Det betyder at billedrummet er 2-dimensionalt. Du skal så blot finde 2 lineært uafhængige vektorer i billedrummet til at angive billedrummet

Tak for svar!

Er det så korrekt, at billedrummet C(R³) er udspændt af vektorerne (1, 0 , -1) og (0 , 1 ,1 )?

Kan jeg i så fald skrive underrummet U som

U={u∈R³ | u=(1, 0 , -1)t₁+(0, 1, 1)t₂, t₁, t₂∈R) ? 

(0, 1, 1) ligger i underrummet; men det gør (1, 0, -1) ikke.

Opgaven kan faktisk løses med hovedregning alene.

Hvis du ser på matricen C.

Summen af de to første rækker er den sidste række, så rangen er højst 2. De to første rækker er ikke proportionale, så rangen er mindst 2.

Hvis du i stedet ser på søjler Summen af den første søjle og den sidste søjle er den midterste søjle, altså rang højst 2. Ingen af søjlerne er proportionale så rang mindst 2. Billedrummet er derfor 2 dimensionalt.

Du skal så finde to lineært uafhængige vektorer, der ligger i billedrummet. Billedet af basisvektorerne er søjlerne i matricen C, så du kan bare vælge 2 søjler i matricen C som beskriver underrummet

Mange tak for svaret, jeg har forstået det nu :)