Ekstrema

Global er det minimum og/eller maksimum, som er større end alle andre maksima og minima...

Lokal er dermed så det andre maksima og minima..

I mange tilfælde, så er det globale maksimum og minimum i -∞ og ∞

Hvor der erglobalt maksimum for en funktion vil funktionen ikke antage nogle større værdi noget sted.

Hvis der er lokalt maksimum vil funktionen ikke antage større værdier i en omegn omkring maksimumpunktet, men funktionen kan godt antage større værdier i større aftstan fra maksimumspunktet.

Det tilsvarende gælder for minimum

Populært sagt: Du kan godt være den højeste i din klasse (lokalt) uden at være den højeste i verden (globalt).

Global minimum ligger i x = -∞
Global maksimum ligger i x = ∞

Tak for hjælpen!

#4

Man vil ikke kalde det globalt minimum eller globalt maksimum, når det drejer sig om en grænseværdi i ±∞ .

Det sagde min "gamle" matematik lærer. Tænker at eftersom hun før havde undervist universitetsstuderende på dtu, så måtte dette være rigtigt (½ år tilbage)... Men hun kan selvfølgelig også ha' taget fejl

#6 så det er forkert det der står i #4 ?

Definition på lokalt og globalt maksimum:

• f(x,y) har lokalt maksimum i punktet (a,b) hvis f(x,y) ≤ f(a,b) for alle (x,y) i nærheden af (a,b).
• f(x,y) har globalt maksimum i punktet (a,b) hvis f(x,y) ≤ f(a,b) for alle (x,y) i definitionsområdet for f(x,y).

Definition på lokalt og globalt minimum:

• f(x,y) har lokalt minimum i punktet (a,b) hvis f(x,y) ≥ f(a,b) for alle (x,y) i nærheden af (a,b).
• f(x,y) har globalt minimum i punktet (a,b) hvis f(x,y) ≥ f(a,b) for alle (x,y) i definitionsområdet for f(x,y).

Betingelser for lokale værdier:
Hvis et punkt (a,b) er lokalt maksimum eller minimum, glæder mindst en af følgende:

1) (a,b) er et kritisk punkt for f(x,y), hvilket vil sige at f₁(a,b) = f₂(a,b) = 0.
2) (a,b) er et singulært punkt for f(x,y), hvilket vil sige at mindst én af de partielle afledede ikke er defineret i (a,b).
3) (a,b) ligger i randen af definitionsområdet for f(x,y).

http://wiki.mitsted.dk/?page=Maksimum_og_minimum

Jeg, siden og min gamle matematik lærer kan jo stadig godt tage fejl.

#9

Der er ikke noget galt med den side, du henviser til. Det var din kommentar med at ekstremum kunne være i ±∞ jeg tog afstand fra.

En reel funktion f(x) : X ⊆ Rⁿ → R har lokalt minimum i x₀, hvis der findes en omegn ω(x₀) omkring x₀ , så at det for alle x ∈ ω(x₀) gælder, at  f(x) ≥ f(x₀) .

Funktionen har globalt minimum i x₀ , hvis det for alle x i definitionsmængden X gælder, at f(x) ≥ f(x₀) .

Der gælder analoge definitioner for lokalt/globalt maksimum, hvor man vender ulighedstegnet til ≤ .

Det er ikke et krav i definitionerne, at funktionen f(x) er differentiabel.

Ahh. Ok.. Hmm.

Hæh, men tak for inputtet. Så blev man også kloger igen i dag.

Hvor der ved maksimum så skal gælde at B>A og B>C ??

Eller kan man sige at funktionen ln(x), har globalt maksimum i x₀ = ∞, da der ikke for nogen andre x, er større end denne?

#11 - supplerende...

grænserne er et spørgsmål ang. hvad der menes med omegn...

Eksemplet med ln(x), er da du skriver f(x) ≤ f(x₀)

#12

Med en omegn forstås sædvanligvis en sammenhængende, åben mængde. I een variabel tænker man på et åbent interval. I flere dimensioner kalder man også en omegn for en åben kugle.

#11

Nej, funktionen ln(x) har ikke globalt maksimum for x = ∞ . Funktionen har hverken et minimum eller et maksimum. Funktionen ln(x) er en strengt voksende funktion.