Matematik

Ode; Damped oscillation with forcing.

16. marts 2015 af Krable (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg betragter differential ligningen

$x''+bx'+\omega^2 x=\cos (vt)$

hvor $b, \omega, v$ er positive konstanter. Jeg skal da vise at hvis $b > 2 \omega$ da vil

hver løsning gå mod en sinusodal funktion når $t \rightarrow \infty$ , og skrive den funktion ned explicit.

Foreløbig det jeg har gjordt er at betragte den homogene differentialligning. Da ses det nemt at den

har to complekse rødder med negativ reel del (fordi vi antager b> 2\omega). Altså er dens løsning en stabil spiral (trace-determinant plane). For at finde en specific løsning prøvede jeg at gætte på en løsning af formen $x=c_1 \cos(vt)+c_2 \sin(vt)$ men det hjalp umidbart ikke.

Nogen hjælp til hvordan jeg skal komme videre?

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. marts 2015 af Andersen11 (Slettet)

Benytter man dit gæt, får man ligningerne

(v² + ω²)·c₁ + bv·c₂ = 1

-bv·c₁ + (ω² - v²)·c₂ = 0

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. marts 2015 af Andersen11 (Slettet)

Rettelse til #1. Det skal vist være

(ω²- v²)·c₁ + bv·c₂ = 1

-bv·c₁ + (ω² - v²)·c₂ = 0

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. marts 2015 af Number42 (Slettet)

Den homogene ligning har to reelle rødder som er negative under antagelsen hvilket betyder at løsningen er en dæmpet exponential.

Brugbart svar (0)

Svar #4
17. marts 2015 af Number42 (Slettet)

Og selvfølgeligt er den kvasistationære løsning x= c1 cos(v t) + c2 sin(v t) men jobbet består i at identificere de to koefficienter.

( ( a^2 - v^2) cos( vt) + b sin(vt) ) /N . a er omega som min ipad ikke kan skrive og N = a^4+ b^2 v^2 + v^4 - 2 a ^2 v^2

Den tranciente del er nem bare de to rødder fra den karaktiske ligning op i exp( ) med passende konstanter.

Skriv et svar til: Ode; Damped oscillation with forcing.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.