Matematik

Supremum

01. maj 2015 af ASL1 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg sidder med en opgave, hvor jeg har fået oplyst en funktionsfølge

$f_n(x)=\frac{1-\left(\frac{x}{b}\right)^n}{1+\left(\frac{a}{x}\right)^n}, n=1,2,...$

0 < a < b.

For $x\in [a,b]$ er følgen punktvis konvergent med grænsefunktionen

$f(x)=\left\{\begin{matrix} 0, & x=b \\ 1, & a<x<b\\ \frac{1}{2}, & x=a \end{matrix}\right.$ .

Så skal jeg vise, at følgen er uniformt konvergent når

$x\in [a+\epsilon, b-\epsilon], \epsilon>0, \epsilon<\frac{b-a}{2}$ .

Det er her jeg håber at få lidt hjælp at komme videre.. Altså jeg har, at

$\sup_{x\in[a+\epsilon,b-\epsilon]}|1-\left(\frac{1-\left(\frac{x}{b}\right)^n}{1+\left(\frac{a}{x}\right)^n}\right)|$

Jeg har prøvet

$\sup_{x\in[a+\epsilon,b-\epsilon]}|1-\left(\frac{1-\left(\frac{x}{b}\right)^n}{1+\left(\frac{a}{x}\right)^n}\right)|=|\left(\frac{1+\left(\frac{a}{x}\right)^n-\left(1-\left(\frac{x}{b}\right)^n \right )}{1+\left(\frac{a}{x}\right)^n}\right)|=|\left(\frac{\left(\frac{a}{x}\right)^n+\left(\frac{x}{b}\right)^n}{1+\left(\frac{a}{x}\right)^n}\right)|$ ,

men jeg ved ikke om det fører nogensteder :/ ??

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. maj 2015 af peter lind

Der gælder a/x > a/(a+ε) og x/b > (b-ε)/b = 1-ε/b. samt nævneren mindre end 2

Svar #2
01. maj 2015 af ASL1 (Slettet)

ok.. tak for svar :) men er det så rigtigt, at der gælder

$\left|\frac{\left(\frac{a}{x} \right )^n+\left(\frac{x}{b} \right )^n}{1+\left(\frac{a}{x} \right )^n}\right|>\left|\frac{\frac{a}{a+\epsilon}+\left(1-\frac{b-\epsilon}{b}\right)}{2}\right|$

? Fordi det skal gerne ende med at væew mindre end e right?

Brugbart svar (0)

Svar #3
01. maj 2015 af peter lind

Det gælder ganske vist; men du kan ikke bruge det fordi n mangler

Brugbart svar (0)

Svar #4
03. maj 2015 af L00l (Slettet)

hvorfor gælder x/b > (b-epsilon)/b? gælder det stadig hvis x = a+epsilon?

Brugbart svar (0)

Svar #5
03. maj 2015 af peter lind

Det er også forkert. ulighedstegnet skal vendes. undskyld

Brugbart svar (0)

Svar #6
03. maj 2015 af L00l (Slettet)

Super. det helt iorden.. skulle bare lige være sikker. så det burde være ≤ i begge tilfælde ik? .. altså a/x ≤ a/(a+epsilon) og x/b ≤ (b-epsilon)/b ?

Brugbart svar (0)

Svar #7
03. maj 2015 af peter lind

Skriv et svar til: Supremum

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.