Matematik

Rand og undtagelsespunkter

12. maj 2015 af Searchmath (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Der er noget jeg ikke helt forstår. Hvordan er det, man kan se eller regne sig frem til, at der ikke er rand eller/og undtagelsespunkter? Og hvad betyder et undtagelsespunkt egentligt?

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. maj 2015 af Toonwire

Tænkt på et udtagelsespunkt som er punkt på en graf, hvor funktionen for grafen ikke er differentiabel.

Eks.

f(x)=|x|

Har et udtagelsespunkt i (0,0) da der er et "knæk" på grafen her og ikke er differentiabel i netop dette punkt.

Randpunkter er vel bare punkter på randen..? :)
En mængde uden rand er eksempelvis det indre af en cirkel
$\{ (x,y)~| ~x^2+y^2<1}\}$

Svar #2
12. maj 2015 af Searchmath (Slettet)

Så den her funktion har ingen rand, fordi man kun har givet et interval for x?

Og den har ingen undtagelsespunkter, fordi både den indeholder et polynomium og en sinus som begge er glatte? :)

Der er dog noget jeg ikke forstår ved opgaven i del.3. Jeg har kun fundet 2 stationære punkter vha. maple hhv. (0,0) og (Pi/2,1), men åbenbart skal der også være en (-Pi/2,-1). Jeg synes ikke det sidste punkt giver mening, for når jeg plotter funktionen med punkterne er (-Pi/2,-1) udenfor punktmængden :/

Vedhæftet fil:stationærp.docx

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. maj 2015 af Toonwire

Funktionen har ingen rand pga. den er skarpe ulighed i x-værdierne. Havde der stået hhv. større eller lig med og mindre eller lig med, havde der været tale om rand.

For at finde stationære punkter fra du løse

For funktionen
$f(x)=\frac{1}{2}y^2-y\cdot sin(x)$

fås de partielle afledte:

$\\f'_x(x,y)=-y\cdot cos(x)\\ f'_y(x,y)=y-sin(x)$

Umiddelbart har du også fundet 0-løsningen for vha. nulreglen og sat y = 0.
Det andet du skal se på er når cos(x) = 0, hvilket også (vi er stadig ved nulreglen) giver 0 i førstekoordinaten.

Vi har altså situationen hvor
Hvornår er cos(x) lig 0?
Det er den jo når vi er ved og så også ved halve omgange rundt (positivt eller negativt) på enhedscirklen.
Dvs. du har at
$cos(x)=0~~\Rightarrow~~ x=\frac{\pi}{2}+p\pi~~,~p\in\mathbb{Z}$

Din mængde er defineret for x fra -3 til 3.
Hvilke værdier for ovenstående udtryk passer ind her? Det gør x når p = 0 og p = -1
Hvoraf x-værdierne bliver:
$\\x=\frac{\pi}{2}~,~~ ~hvor~~-3<\frac{\pi}{2}<3\\\\ x=\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{\pi}{2}~,~~ ~hvor~~-3<-\frac{\pi}{2}<3\\$

Derfor får man også et stationært punkt i , da
$y=sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1$

Håber det gav mening :)

Svar #4
12. maj 2015 af Searchmath (Slettet)

Tusind tak!:D
Kan man ikke regne sig frem til det via CAS direkte? Jeg brugte maple, og det var kun (0,0) og (Pi/2,1) jeg fik ud :)

Brugbart svar (1)

Svar #5
12. maj 2015 af Toonwire

Jeg ved ikke om Maple har en smart kommando til at solve i intervallet, og samtidig give dig flere resultater på én gang. Men man kan sagtens få Maple til at spytte alle løsningerne ud, så er det bare op til dig at tolke dem og se hvilke der ligger inden for restriktionerne.

$~\\solve(cos(x)=0,~x,~ AllSolutions);\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~output~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\frac{1}{2}\pi+\pi\_Z1~$

Jeg har pt. ikke mit CAS-værktøj ved hånden, og kan ikke huske om det er muligt dér.

Svar #6
13. maj 2015 af Searchmath (Slettet)

Jeg takker alligevel :)

Svar #7
13. maj 2015 af Searchmath (Slettet)

Jeg tænkte på, om du kunne give et eksempel, på hvordan man kan løse undtagelsespunkt(er), så jeg kunne se hvordan sådanne punkter kan bestemmes :)?

Jeg tænker umiddelbart på f(x)=√x + cos(x) så er det første led jo ikke differentiabel i alle punkter? Eller er jeg helt på afvej?

Men hvordan bestemmes undtagelsespunktet så?

Brugbart svar (0)

Svar #8
13. maj 2015 af Toonwire

Funktionen er jo lidt speciel eftersom man ved x-værdier mindre end 0 bevæger sig ud i de komplekse tal.
Oftest, når man snakker ekstemumspunkter, leder man kun efter reelle løsninger. Men lad os se på det.

Lad os starte med at differentiere funktionen således, at vi finder
$f'_x=\frac{1}{2\sqrt{x}}-sin(x)~~,~~x\neq0$
Dvs. der er et undtagelsespunkt for x = 0, da differentationen kun er defineret for x forskellig fra 0.
Hvilket betyder at punktet er et undtagelsespunkt.

De stationære punkter findes som sædvanlig ved at bestemme rødderne. I dette tilfælde er rødderne hhv.

$\\x=0.6619\\ x=2.8404\\ x=6.4809\\ x=9.2597\\ x=12.707\\ x=15.581\\ ~\vdots~~~~~~~~\vdots$

Bare for at nævne én, så findes der jo også komplekse løsninger. Bla.
x=-0.2891-0.5437 ~i

Brugbart svar (1)

Svar #9
13. maj 2015 af Toonwire

#4 #5

Lige som en tilføjelse til min tidligere udtagelse; kom jeg i tanke om en måde at løse ligninger i et inteval i Maple.

solve([cos(x)=0, -3 < x and x < 3], x, AllSolutions, Explicit);

Denne funktion giver dig netop løsningerne

Svar #10
16. maj 2015 af Searchmath (Slettet)

#9:

Smart! Kan man ikke bare indsætte med to variabler og solve med det samme?

Brugbart svar (1)

Svar #11
16. maj 2015 af Toonwire

#10

Jo, bare tilføj and mellem grænserne for den anden variable også.

Skriv et svar til: Rand og undtagelsespunkter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.