Matematik

randundersøgelse

13. maj 2015 af Searchmath (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg vil gerne høre, hvordan det egentligt er, at man laver en randundersøgelse helt præcist?

Jeg har set på en opgaveløsning, hvor der indegår en randundersøgelse, og her bliver der differentieret og solvet, men hvorfor gør man egentligt det?

Brugbart svar (1)

Svar #1
13. maj 2015 af Toonwire

Det er ligesom at finde stationære punkter, bare for en anden mængde.

Man differentierer, og løser mht. parameteren hvor udtrykket er sat lig 0, for at finde ekstremumspunkter.
Det er analogt med andre måder at finde ekstrema på :)

Svar #2
13. maj 2015 af Searchmath (Slettet)

Jeg prøver mig frem med nogle opgaver . Jeg kan for eksempel ser, at den her punktmængde har en rand. Jeg ved dog ikke helt, hvordan den skal løses. Jeg tænker på, kunne du hjælpe? Så bliver det også nemmere, når jeg skal lave en anden opgave:)
Og tusind tak ellers!

Vedhæftet fil:image.jpg

Brugbart svar (0)

Svar #3
13. maj 2015 af Toonwire

Vil du have en hel gennemgang af opgaven som eksempel?
Hint:
- Udregn gradienten (Nabla operator)
- Løs for stationære punkter (f '_x, f '_y)=(0,0), husk kun at kigge på det indre
- Randanalyse for at kigge på hele M

Eller bare forståelsen af dele af opgaven?

Svar #4
13. maj 2015 af Searchmath (Slettet)

Jeg har løst de to første :) det er mere den sidste. Jeg fik et stationært punkt, og den har ingen maks eller min. Så mangler jeg at tjekke for randpunkterne. Jeg kan nemlig se, at funktionen har randpunkter i punktmængden M.

Brugbart svar (1)

Svar #5
13. maj 2015 af Toonwire

Så lad os kigge på randen for M, : (Beklager, havde ikke andet ved hånden end Paint...)

Hvor det røde område er mængden M. Jeg forklarer de grønne cirkler senere.

Okay så. Randen kan vælges at ses som 4 linjestykker, hhv. (se tegning)
Nu kigger vi på hvert linjestykke hver for sig, hvor én af de to variable holdes fast.

$f_1 :~~\underline{x=-1},~~y\in\left]-\frac{\pi}{2},\pi\right[~~~~ \text{\aa bent interval idet vi ignorer hj\o rnerne}$
Grundet til at vi ignorerer hjørnerne er, at disse punkter går igen i linjestykkerne. Vi kompenserer for dette, som du vil se under udregningerne.

Først finder vi et udtryk for linjestykket:
f_1(y)=f(-1,y)=-cos(y)

Så skal vi bare finde ekstremumspunkter for herpå:
$\Rightarrow~~f'_1(y)=sin(y)=0~~\Leftrightarrow~~y=0+p\pi,~p\in\mathbb{Z}$

Check med intervallet for : Er der andre mulige værdier? ---> Niks, kun
Nu bruger vi så dobbeltpunkterne (de grønne cirkler) som linjestykket berører samt den fundne:

$\begin{Bmatrix} ~(-1,\frac{\pi}{2}),(-1,0),(-1,\pi)~ \end{Bmatrix}~~~~ HUSKES$
Og videre til næste linjesykke.

$f_2 :~~\underline{x=\pi},~~y\in\left]-\frac{\pi}{2},\pi\right[$
Samme fremgangsmåde som før:

$f_2(y)=f(\pi,y)=-\pi \cdot cos(y)$

$\Rightarrow~~f'_2(y)=-\pi \cdot sin(y)=0~~\Leftrightarrow~~y=0+p\pi,~p\in\mathbb{Z}$

Igen, kun passer i intervallet. Dvs.

$\begin{Bmatrix} ~(\pi,\frac{\pi}{2}),(\pi,0),(\pi,\pi)~ \end{Bmatrix}~~~~ HUSKES$

Nu skifter vi så til linjestykkerne hvor x varieres, mens y fastholdes, ellers samme princip som før:

$f_3 :~~\underline{\begin{matrix} y=-\frac{\pi}{2}\end{matrix}},~~x\in\left]-1,\pi\right[$
$f_3(x)=f\left(x,-\frac{\pi}{2}\right)=0~~~~~~~HUSKES$

0 er altid lig med 0 (surprise) dvs. uanset vores valg af x-værdi, vil vi altid få 0.
Vi kunne opskrive hjørne/dobbeltpunkterne, men dem har vi allede set på så det er der jo ingen grund til.
De eneste muligheder der er tilbage er dem der ligge i det åbne interval (uendeligt mange)

$f_4 :~~\underline{y=\pi},~~x\in\left]-1,\pi\right[$

$f_4(x)=f\left(x,\pi\right)=-x$

$\Rightarrow ~~ f_4'(x)=-1$

, dvs. der findes ingen interessante punkter på linjestykket. Igen kunne vi have opskrevet hjørnepunkterne, men dem har vi jo også allede kigget på :)

Nu kan vi så finde maksimum og minimum for på hele M. Da vi både har stationære punkter (du fandt det selv) og nu også randpunkterne:

Indsæt blot alle de fundne punkter i funktionen

$\begin{matrix} f\left(-1,-\frac{\pi}{2}\right)&=0\\ f(-1,0)&~=-1\\ f(-1,\pi)&=1\\ f(\pi,-\frac{\pi}{2})&=0\\ f(\pi,0)&=\pi\\ f(\pi,\pi)&~~=-\pi\\ f(x,-\frac{\pi}{2})&=0\\ f(0,\frac{\pi}{2})&=0 \end{matrix}$

Hvoraf det ses, at punktet er det globale maksimum for på M.
Ligeledes, at punktet er det globale minimum for på M.

Det skulle dække hvad du får brug for til fremtidige opgaver, forhåbentlig :)

Brugbart svar (1)

Svar #6
13. maj 2015 af Toonwire

Som supplement til det sidste punkt i #5

Det er bare det stationære punkt (som du også selv har fundet)

Svar #7
14. maj 2015 af Searchmath (Slettet)

#5: Det forstår jeg rigtigt godt, tak! :D

Du mente f(0, -Pi/2) i den anden sidste, ikke? :)

Kan du prøve at give mig en opgave, og så kan jeg prøve at løse den med den samme fremgangsmåde?

Brugbart svar (0)

Svar #8
14. maj 2015 af Toonwire

Jeg mente skam , da alle x-værdier vil gøre udtrykket sandt. Der er jo uendeligt mange, så jeg skriver bare at det er sandt for alle x.

Prøv om du ikke kan lave en randundersøgelse for:

$\\\text{Funktionen}~~~~~~~~~~ \begin{matrix}f(x,y)=\frac{4}{3}\cdot x^3-(y-1)^2\end{matrix}\\\text{Punktm\ae ngden~~~~}M=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2~| ~x^2+(y-1)^2 \leq 1\}$

Svar #9
16. maj 2015 af Searchmath (Slettet)

#8: Vi har ikke en firkant i det her tilfælde, men en cirkel med en rand, ikke?

Så jeg skal undersøge for x = sqrt(-y^2+2*y), -sqrt(-y^2+2*y) og for y= 1+sqrt(-x^2+1), 1-sqrt(-x^2+1) ? :)

Brugbart svar (0)

Svar #10
17. maj 2015 af Toonwire

Det er mig der har lavet en fejl. Du kan ikke løse opgaven med den samme fremgangsmåde (ihvertfald ikke til punkt og prikke).
Det er ganske rigtigt en cirkel(skive) det drejer sig om, men en cirkelskive består jo ikke rigtig af en mængde linjestykker som vi havde før. Man kan ikke holde x hhv. y fast i dette tilfælde, men man kan til gengæld parametrisere cirkelskivens rand. Herefter kan du finde maksimum og minimum for på randen, altså i forhold til parametrisering.

Du kan bruge fremgangsmåden fra sidst i de tilfælde, hvor punktmængden eller dens rand består af linjestykker.

Svar #11
17. maj 2015 af Searchmath (Slettet)

Men det ville være sjovt, at prøve med en cirkel tænker jeg:)
Skal cirklen så parametriseres til (cos(u), sin(u), v) hvor u går fra 0..2Pi og v fra 0..1

Brugbart svar (0)

Svar #12
17. maj 2015 af Toonwire

#11

Cirkelskiven ligger i xy-planet og parametriseres kun med to koordinater.

Siden vi kun er interesseret i randen, altså den omliggende cirkel, skal vi kun benytte os af 1 parameter.
På randen skal vi ikke have en parameter der "fylder figuren ud".

Cirklen har radius 1 og er forskudt 1 i y-retingen fra Origo. Dvs parametriseringen lyder:

$r(t)=(cos(t),sin(t)+1)~,~~~~t\in[0,2\pi]$

går fra til $2\pi$ for at opnå en hel cirkel, som du sikkert er bekendt med.
Overvej her; er der nogle dobbeltpunkter? ;)

Prøv at tegne mængden (hvis du ikke allerede har gjort det), det hjælper altid mig en hel del.

Brugbart svar (0)

Svar #13
17. maj 2015 af Toonwire

Jeg har regnet lidt på det.

Det kan godt lade sig gøre at udregne opgaven med præcis samme fremgangsmåde som den jeg viste, selvom der er tale om en cirkel. Hvis du er mere tryg ved dén, slå dig løs.

Det skal dog siges, at man lige skal indse en bestemt ting når man bruger "linjestykke-metoden" (eller hvad vi nu skal kalde den).

HINT:
Betragt hele randen som et "linjestykke" og døb denne som en funktion kun af x.

Skriv et svar til: randundersøgelse

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.