Matematik

integralregning

15. juli 2015 af johnathan (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej, jeg er i gang med en integrationsopgave men er desværre gået i stå. Jeg skal finde k, således at ∫^k₀(4x+1)/(2x²+x+2)dx=ln(6)

substitution benyttes:

t=2x²+x+2

dt/dx=4x+1

dt=4x+1dx

∫ dt*1/t =[ln(t)]^k₀ = [ln(2x²+x+2)]^k₀

så grænseværdierne indsættes:

ln(2k²+k+2)-ln(2*0²+0+2)=ln(6)

e bruges til at fjerne ln

e^{ln(2k^2+k+2)}-e^ln(2)=e^ln(6)

>> 2k²+k+2-2=6

>> 2k²+k=6

Hvad gør jeg så nu? Det ser ud som om jeg har lavet en fejl, men kan ikke selv se hvor den ligger henne, håber I kan hjælpe.

p.s. ved at svaret er k=2, men aner ikke hvordan det skal beregnes ud af hvad jeg er kommet til.

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. juli 2015 af Soeffi

I CAS:

Vedhæftet fil:Screen Shot 2015-07-15 at 5.21.35 PM.png

Brugbart svar (0)

Svar #2
15. juli 2015 af mathon

$\int\frac{4x+1}{2x^2+x+2}\, \textup{d}x=\int\frac{1}{2x^2+x+2}(4x+1)\, \textup{d}x=\int\frac{1}{t}\, \, dt=\ln(t)+k$

da t=2x^2+x+2>0

$\int_{0}^{k}\frac{4x+1}{2x^2+x+2}\, \textup{d}x=\ln\left(\frac{2\cdot k^2+k+2}{2}\right)=\ln(6)$
$\Updownarrow$

2k^2+k+2=12

2k^2+k-10=0

Svar #3
15. juli 2015 af johnathan (Slettet)

som jeg har allerede sagt, jeg ved godt at svaret er k=2 (da jeg skal finde det positive tal k) men jeg vil hellere beregne det uden hjælpemidler derfor har jeg oprettet dette indlæg :)

Svar #4
15. juli 2015 af johnathan (Slettet)

#2
                    $\int\frac{4x+1}{2x^2+x+2}\, \textup{d}x=\int\frac{1}{2x^2+x+2}(4x+1)\, \textup{d}x=\int\frac{1}{t}\, \, dt=\ln(t)+k$

da

                                  $\int_{0}^{k}\frac{4x+1}{2x^2+x+2}\, \textup{d}x=\ln\left(\frac{2\cdot k^2+k+2}{2}\right)=\ln(6)$
$\Updownarrow$

how come flytter du t fra nævneren til tælleren? og hvor fik du 12 fra?

Svar #5
15. juli 2015 af johnathan (Slettet)

altså, dette 2 tallet som du har skrevet som nævneren, hvor fik du det fra, altså ∫1/tdt = ln(t) ???

Brugbart svar (0)

Svar #6
15. juli 2015 af mathon

$\! \! \! \! \! \! \! \! \int_{0}^{k}\frac{4x+1}{2x^2+x+2}\, \textup{d}x=\ln(\mathbf{\color{Red} k^2+k+2})-\ln(\mathbf{\color{Blue} 2})=\ln\left(\frac{2\cdot k^2+k+2}{2}\right)=\ln(6)$

da
$\ln(a)-\ln(b)=\ln\left ( \frac{a}{b} \right )$

$\! \! \! \! \! \! \! \! \int_{0}^{k}\frac{4x+1}{2x^2+x+2}\, \textup{d}x=\ln(\mathbf{\color{Red} k^2+k+2})-\ln(\mathbf{\color{Blue} 2})=\ln\left(\frac{\mathbf{\color{Red} 2\cdot k^2+k+2}}{\mathbf{\color{Blue} 2}}\right)=\ln(6)$

Brugbart svar (0)

Svar #7
15. juli 2015 af mathon

og
$\ln(a)=\ln(b)\Leftrightarrow a=b$

Svar #8
15. juli 2015 af johnathan (Slettet)

#6
#5

     $\! \! \! \! \! \! \! \! \int_{0}^{k}\frac{4x+1}{2x^2+x+2}\, \textup{d}x=\ln(\mathbf{\color{Red} k^2+k+2})-\ln(\mathbf{\color{Blue} 2})=\ln\left(\frac{2\cdot k^2+k+2}{2}\right)=\ln(6)$

     da
          $\ln(a)-\ln(b)=\ln\left ( \frac{a}{b} \right )$

      $\! \! \! \! \! \! \! \! \int_{0}^{k}\frac{4x+1}{2x^2+x+2}\, \textup{d}x=\ln(\mathbf{\color{Red} k^2+k+2})-\ln(\mathbf{\color{Blue} 2})=\ln\left(\frac{\mathbf{\color{Red} 2\cdot k^2+k+2}}{\mathbf{\color{Blue} 2}}\right)=\ln(6)$

ja ok, nu er jeg med. men hvad gør jeg så med 2k²+k-10=0 ?

Brugbart svar (0)

Svar #9
15. juli 2015 af mathon

løser andengradsligningen
2k^2+k-10=0

Brugbart svar (0)

Svar #10
15. juli 2015 af Soeffi

#0 Rigtigt:...ln(2k²+k+2)-ln(2*0²+0+2)=ln(6) ... idet det giver: ln(2k²+k+2)=ln(12).

Forkert: e^{ln(2k^2+k+2)}-e^ln(2)=e^ln(6)...Du skulle sagt: e^{ln(2k^2+k+2)}=e^ln(12).

Svar #11
15. juli 2015 af johnathan (Slettet)

#9
løser andengradsligningen

Tak!

Skriv et svar til: integralregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.