Matematik

Plangeometri og flytning af parabler

10. august 2015 af Penjen (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej,

Jeg skal til mat A mundtlig eksamen i over morgen. Og har styr på (optimistisk set) det hele, dog er der en ting, jeg hverken forstår beviset for, eller kan finde noget på nettet til at fortælle mig om det. Det omhandler:

Forflytninger af koordinatsystemet, 2. gradspolynomiet og toppunkt. (y - q = a(x - p)²)

Jeg vil gerne komme ind på det ved spørgsmålene - 1.) om 2. gradspolynomiet og 2.) vektorer, behandling af parabler og cirkler.

Håber, der er én, som kan hjælpe en matematikkursist i nød. :-)

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. august 2015 af peter lind

Jeg går ud fra at det drejer sig om at ændre koordinatsystemet så punktet (p, q) bliver begyndelsespunktet i det nye koordinatsystem. Hvis koordinaterne i det nye koordinatsystem kaldes (x1,y1) kan dette opnås ved at der gælder x1 = x-p og y1 = y-p hvilket let kan ses ved direkte indsættelse af (x,y) = (p,q)

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. august 2015 af mathon

Parallelforskydning i koordinatsystem:

       Når punktmængden
                                            $\mathcal{F}\! \! :\; \; \{(x,y)\; |\; y=ax^2\}$
parallelforskydes
efter parallelforskydningsvektor
                                                      $\overrightarrow{f}=\begin{pmatrix} p\\q \end{pmatrix}$
haves
                                                       $x{}'=x+p\Leftrightarrow x=x{}'-p$

$y{}'=y+q\Leftrightarrow y=y{}'-q$

$\mathcal{F}{}'\! \! :\; \; \{(x{}',y{}')\; |\; y{}'-q=a(x{}'-p)^2\}$

når (x{}',y{}') er koordinaterne efter parallelforskydningen.

Når det efterfølgende ikke er essentielt at opfatte
$\mathcal{F}{}'\! \! :\; \; \{(x{}',y{}')\; |\; y{}'-q=a(x{}'-p)^2\}$ som en paralleforskydning af $\mathcal{F}\! \! :\; \; \{(x,y)\; |\; y=ax^2\}$

udelader man af bekvemmelighed mærkerne
og noterer:

$\mathcal{F}\! \! :\; \; \{(x,y)\; |\; y-q=a(x-p)^2\}$

y-q=a(x-p)^2

y=a(x-p)^2+q

y=a(x^2-2px+p^2)+q

                                y=ax^2-2apx+ap^2+q     hvilket sædvanligvis ønskes på
formen
                                y=ax^2+bx+c
hvilket kræver
                                $b=-2ap\Leftrightarrow p=\frac{-b}{2a}$

$c=a\cdot \left ( \frac{-b}{2a} \right )^2+q\Leftrightarrow q=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{-d}{4a}$

   Ved parallelforskydningen
   føres
                                $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\curvearrowright\begin{pmatrix} x+p\\y+q \end{pmatrix}$
   dvs
   toppunktet
                                $\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}\curvearrowright\begin{pmatrix} \frac{-b}{2a}\\\frac{-d}{4a} \end{pmatrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. august 2015 af mathon

Parallelforskydning i koordinatsystem:

       Når punktmængden
                                            $\mathcal{F}\! \! :\; \;\{(x,y)\; |\; y=\pm \sqrt{r^2-x^2}\}$
parallelforskydes
efter parallelforskydningsvektor
                                                      $\overrightarrow{f}=\begin{pmatrix} p\\q \end{pmatrix}$
haves
                                            $\mathcal{F}{}'\! \! :\; \;\{(x{}',y{}')\; |\; y{}'-q=\pm \sqrt{r^2-(x{}'-p)^2}\}$
som uden mærkenotatation
medfører

$\mathcal{F}\! \! :\; \;\{(x,y)\; |\; y-q=\pm \sqrt{r^2-(x-p)^2}\}$
$\Updownarrow$

$\mathcal{F}\! \! :\; \;\{(x,y)\; |\; (x-p)^2+(y-q)^2=r^2\}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
11. august 2015 af mathon

i #2 er $a\neq 0$

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. august 2015 af mathon

Generelt
Parallelforskydning i koordinatsystem
efter parallelforskydningsvektor
$\overrightarrow{f}=\begin{pmatrix} p\\q \end{pmatrix}$

$\mathcal {F}\! \! :\; \; \{(x,y)\; |\; y=f(x)\} \curvearrowright\mathcal {F}\! \! :\; \; \{(x,y)\; |\; y=f(x-p)+q\}$

Skriv et svar til: Plangeometri og flytning af parabler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.