Matematik

Echelonform

06. september 2015 af Heptan - Niveau: Universitet/Videregående

Er matricerne på echelonform?

$\begin{pmatrix} 0 &1 &3 &0 &6 \\ 0 & 0& 0 &1 &5 \\ 0 & 0& 0 &0 & 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 &1 &0 &0 &6 \\ 0 & 0& 0 &1 &5 \\ 0 & 0& 0 &0 & 0 \end{pmatrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. september 2015 af LeonhardEuler

Ja. På dansk benævnes det trappematrix og internationalt reduced row echelon form.

Svar #2
06. september 2015 af Heptan

Må øverste venstre hjørne da godt være et nul i en trappematrix? Og må der være en kolonne med kun nuller?

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. september 2015 af Stats

Der gælder følgende, hvis der er tale om en trappematrix:

1. Det første tal i en række, som ikke er et 0, skal være et 1-tal. Det kaldes for rækkens ledende 1-tal.

2. I to på hinanden følgende rækker, som begge har et ledende 1-tal, står den øverste rækkes ledende 1-tal længere til venstre end den følgende rækkes ledende 1-tal (trappen går nedad fra venstre mod højre).

3. I en søjle, hvori der optræder et ledende 1-tal, består de øvrige elementer i søjlen udelukkende af 0-er.

4. Eventuelle rækker, som udelukkende består af 0-er, er placeret i bunden af matricen.

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (0)

Svar #4
07. september 2015 af LeonhardEuler

#2 : Ja og ja (det hedder en række i matrixtermer).

Svar #5
07. september 2015 af Heptan

Jeg tror jeg mente en søjle. Søjle 3 i matrix nr 2 er helt tom, så den kan man vel bare fjerne?

$\begin{pmatrix} 0 &1 &0 &0 &6 \\ 0 & 0& 0 &1 &5 \\ 0 & 0& 0 &0 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 &1 &0 &6 \\ 0 & 0 &1 &5 \\ 0 & 0 &0 & 0 \end{pmatrix}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
08. september 2015 af LeonhardEuler

#5: Du vil ikke fjerne den, da den nemlig indeholder en fri variabel.

Hvis vi antager at den sidste søjle er ligningssystemets højreside, så gælder der netop, at dette er trappematrixen

$\begin{pmatrix} 0 &1 &0 &0 &6 \\ 0 & 0& 0 &1 &5 \\ 0 & 0& 0 &0 & 0 \end{pmatrix}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0x_1 +1x_2 +0x_3 +0x_4=6 \\ 0x_1 +0x_2 +0x_3 +1x_4=5\\ 0x_1 +0x_2 +0x_3 +0x_4=0 & & & & \end{matrix}\right.$

Da rangen af koefficientmatricen og totalmatrixen er lig med 2, hvilket er mindre end antal ubekendte 4, da vil der være uendelige mange løsninger til systemet. Den mest oplagte måde at skrive løsningsmængden op på er ved en standardparameterform

$x=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 6\\ 0\\ 5 \end{bmatrix}+t\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}+s\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}$

eller enhver sæt x = (x₁,x₂,x₃,x₄) = (t,6,s,5) hvor t,s ∈ R

Du kan fjerne den sidste række, da det er en triviel ligning. Den udtrykker bare 0x₁+ 0x₂+ 0x₃+ 0x₄ = 0

Skriv et svar til: Echelonform

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.