Fjerdeordensdifferentialligning

Hvis α(x) = k*x² vil der gælde α''(x) = 2k   og α''''(x) = 0

Den løser vel ikke differentialligningen?

Det løser den ligning som du har lavet den om til. Der er jo et andet bånd fra den oprindelige ligning. Der skal gælde D = -C∫₀^Lα(x)dx -M

#3

D = -C∫₀^Lα(x)dx -M

giver da

D = - CkL³/3 - M ≠ - 2Bk

Eller forstod jeg det forkert?

α(x) er en løsning til differentialligningen med uendelig mange løsninger så du kan ikke bare holde dig til en af dem. Desuden er der en sammenhæng mellem k og D

#5

Nu forstår jeg din tankegang. Kunne man ikke løse den mere "eksakt" uden at gætte på en løsning?

Det kan gøres eksakt hvis det havde været en 2. grads differentialligning. Metoden kan formodentlig udvides til 4. grad. 4.grads ligninger er bare ikke særlig almindelig så jeg har ikke set det. I dette tilfælde kan det i første omgang beragtes som en 2. grads ligning med α''(x) som den ubekendte funktion. Derefter kan man så finde den endelige løsning ved at integrere løsningen to gange

Okay. Lad os antage, at vi har:

- B·α''(x) = - C·₀∫^L α(x)·dx - M

Hvordan løser man denne eksakt uden at gætte på en løsning?

Det gør du ikke. Du finder α''(x) som funktion af D. Derefter integrerer du α''(x) to gange og får α(x) som funktion af D eller med andre ord. Du får den funktion, der er fundet tidligere. Derefter fortsætter du bare som tidligere nævnt

#9

Hmm, tror ikke jeg er med nu. Beklager.

Hvordan finder man α''(x) som en funktion af D?

Måske er det nemmere med et taleksempel?

- 10 · α''(x) = - 5 · ₀∫^L α(x)·dx - 100

Nej du  løser den skjulte 2. ordensligning i α''(x) med D på højre side som du har angivet i #0. Hvis du ser bort fra løsningen til den homogene vil den være 2k. Integrere du den får du  k*x² som løsning  Der vil godt nok også være et led som en arbitrær lineær funktion, men den har du allerede med i din oprindelige løsning Der vil godt nok også være et led som en arbitrær lineær funktion, men den har du allerede med i din oprindelige løsning

#12

Har du tid til at vise det, for jeg er ikke 100% med. Måske bedre, hvis du viste nogle af trinene?

Jeg kan forstå, at vi skal starte med at tage udgangspunkt i den oprindelige differentialligning:

A·α''''(x) - B·α''(x) = - C·₀∫^L α(x)·dx - M

Du omdanner den til differentialligningen A*α''''(x)-B*α''(x) = D

Kalder du α''(x) = f(x) giver det differentialligningen

A*f''(x)-B*f(x) = D

Den ligning løser du. Den giver α''(x) =-D/B+ f₀((x) hvor f₀(x) er en løsning til den homogene ligning.

Integrere du den to gang får du α(x) = -½D*x²/B +A₀+A₁*x + G(x)   hvor G''(x) = f₀(x)

Ah, ja okay.

Hvilken partikulær løsning gætter du på den inhomogene andenordensdifferentialligning, når du finder -D/B?

OPDATERING:

Du må gætte på en konstant, som får størrelsen -D/B. Det kan jeg godt se.

Nu kommer det tricky spørgsmål. Hvordan kan man plotte eller afbilde α(x) som en funktion af x, når den er en funktion af D, som også er en funktion af ₀∫^Lα(x)dx??

Du har jo at D = - C·∫₀^L α(x)·dx - M. Det medfører jo så a D = - C·∫₀^L-½D*x²/B + A0+A1*x + G(x)·dx - M. Det giver en ligning til bestemmelse af D. Derefter er den "kun" en funktion af integrationskonstanterne

Jeg ved ikke, hvad D er, så vi har:

D = - C · ∫₀^L (-1/2 · D · x²/B + A₀ + A₁· x + G(x))·dx - M

Lad os sige, at jeg er nået så langt, at jeg har bestemt min D, så skal jeg vel gå tilbage til min α(x) løsning:

α(x) = -1/2 · D · x²/B + A₀ + A₁· x + G(x)

hvor den eneste ubekendte er A₀ og A₁ og som kan bestemmes efter randbetingelser. Korrekt forstået?

ja

Super. Jeg giver det et forsøg.