Matematik

Optimering

25. oktober 2015 af bonnielarsen (Slettet) - Niveau: B-niveau

Et stykke ståltråd på 25 cm kan vi omforme til en cirkel eller et kvadrat eller klippe over i to dele, hvorefter vi laver en cirkel af det ene stykke og et kvadrat af det andet stykke.

Hvor stor en del af ståltråden skal vi anvende til cirklen, hvis det samlede areal skal være minimalt?

Hvor stor en del af ståltråden skal vi anvende til cirklen, hvis det samlede areal skal være maksimalt?

Arealet for en cirkel er pi*r² men ved ikke hvad jeg skal herefter

Opgave 2

en dreng vil bygge en drage ud fra seks stykker træ. hvor de øverste træstykker er 30 cm hver og de nederste 60 cm hver, hvad skal målene på de to stykker træ, som danner krydset i dragen, være, når dragens areal skal være så stort som muligt?

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. oktober 2015 af janusvm (Slettet)

Til Opgave 1:

Du kan udtrykke det samlede areal som en funktion af forholdet mellem, hvor meget af ståltråden der bruges til cirklen, og hvor meget der bruges til kvadratet.

Lad 0 ≤ t ≤ 1 angive den brøkdel, der bruges til cirklen. Cirklens radius afhængig af t bestemmes ved

$25t = 2\pi r(t) \quad \Leftrightarrow \quad r(t) = \frac{25t}{2\pi}$

og dens areal

$A_C(t) = \pi \cdot r(t)^2 = \pi \left( \frac{25t}{2\pi} \right )^2 = \frac{625}{4\pi} t^2$

Resten af ståltråden bruges til kvadratet, og dens areal er dermed

$A_K(t) = \left( \frac{25(1-t)}{4} \right )^2 = \frac{625}{16} (1-t)^2$

Det samlede areal kan således udtrykkes ved

$A(t) = A_C(t) + A_K(t) = \frac{625}{4\pi} t^2 + \frac{625}{16} (1-t)^2$

Hvis arealet er minimalt eller maksimalt når 0 < t < 1 (streng ulighed), så kan den pågældende værdi for t findes ved at løse A'(t) = 0, hvor

$A'(t) = \frac{625}{2\pi} t + \frac{625}{8} (1-t)$

og fordi

$A''(t) = \frac{625}{2\pi} - \frac{625}{8} > 0$

så vil dette punkt være et minimum for arealet, og maksimum antages på randen (når t = 0 eller t = 1)

Skriv et svar til: Optimering

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.