Matematik

Bevis for logaritme

08. november 2015 af 123434 (Slettet) - Niveau: B-niveau

log(a*b)=log(a)+log(b)

Der gælder reglen x=10^log(x)og derfor omskriver jeg a=10^log(a)og b=10^log(b⁾

log(10^log(a)*10^log(b)) benytter reglen aⁿ*a^m=a^n+m

log(10^{log(a)+log(b)})

log og 10 går ud med hinanden. Tilbage har vi log(a)+log(b)

Har jeg forstået beviset rigtigt?

Tusind tak på forhånd

Brugbart svar (1)

Svar #1
08. november 2015 af Lubas (Slettet)

a = 10^log(a) , b = 10^log(b)

a*b = 10^log(a) * 10^log(b)

a*b = 10^{log(a)+log(b)}

log(a*b) = log(10^{log(a)+log(b)})

log(a*b) = log(a) + log(b)

Brugbart svar (1)

Svar #2
08. november 2015 af SådanDa

Ja, det er helt korrekt :)

Men altså x=10^log(x) gælder per definition, det er altså ikke bare en tilfældig regel, det synes jeg er værd at bemærke!

Brugbart svar (1)

Svar #3
08. november 2015 af SådanDa

Man kan også se at det ikke kun gælder for base 10 logaritmen, men for hvilken som helst logaritme da:

x=y^log_y(x) => log_y(a·b)=log_y(y^log_y(a)·y^log_y(b))=log_y(y^{log_y(a)+log_y(b)})=log_y(a)+log_y(b), per de samme argumenter som du laver :)

Brugbart svar (1)

Svar #4
08. november 2015 af mathon

log(a*b) =l og(a) + log(b)      skal ikke bevises,
da
       definitionen på logaritmer bl.a.
       er:

                  $\log_g(a\cdot b)=\log_g(a)+ \log_g(b) \; \; \; \; \; \; \mathbb{R}^2\curvearrowright \mathbb{R}+\mathbb{R}$
          $\Updownarrow$
                  x=g^y
Definitioner skal ikke bevises.
Men man kan godtgøre, at definitionen er formålstjenlig:

                   $g^{\alpha +\beta }=g^{\alpha }\cdot g^{\beta }$      som for    $\alpha =\log_g(a)$    og   $\beta =\log_g(b)$
     giver
                   $g^{\log_g(a)+\log_g(b)}=g^{\log_g(a)}\cdot g^{\log_g(b)}}=a\cdot b\; \; \; \; \; \; \mathbb{R}+\mathbb{R}\curvearrowright \mathbb{R}^2$

Skriv et svar til: Bevis for logaritme

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.