Matematik

kvotientkriteriet

14. januar 2016 af gariban - Niveau: Universitet/Videregående

Hej,

Når jeg bruger kvotientkriteriet på denne række (se vedhæftet fil), så får jeg:

(-n*x) / (n+1)

Men hvordan udregner jeg så konvergensradius? kan kan jo være hvad som helst.

Vedhæftet fil: Udklip.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. januar 2016 af Therk

Du kan godt have en ikke-endelig konvergensradius. Det betyder at rækken konvergerer for alle x. Det betyder dog ikke at din har uendelig konvergensradius. Der skal gælde at

$\lim_{n\to \infty} \left\lvert \frac{-nx}{n+1}\right\rvert < 1$

Svar #2
14. januar 2016 af gariban

Okay. Når jeg lader n gå mod uendelig, så får jeg jo |x|.

Så skal |x| < 1.

Dermed må konvergensradius være 1?

_______________________________________

Betragt nyt eksempel.

Hvis jeg brugte kvotientkriteriet igen og fik |2x|.

Så måtte [2x| < 1 <=> x < 1/2.

Også måtte konvergensradius være en halv?

Brugbart svar (1)

Svar #3
14. januar 2016 af Therk

Helt korrekt (ud over din hvis og kun hvis implikation, om vi tillader pedanteri!)

|x| ≤ 1/2.

Svar #4
14. januar 2016 af gariban

Hvorfor er det ikke tilladt at bruge hvis og kun hvis implikation? Er det fordi det er en ulighed?

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. januar 2016 af Therk

Tja, det er måske nemmest at illustrere med et eksempel. Lad fx $\inline x = -1$ . Så er , men og derfor

Det er dog korrekt at , men når vi leder efter en konvergensradius er vi interesserede i den nedre grænse også.

Brugbart svar (0)

Svar #6
14. januar 2016 af AskTheAfghan

Rækken konvergerer hvis og kun hvis |2x| < 1, dvs. |x| < 1/2. Test evt. om rækken konvergerer i endepunkterne, dvs. for x ∈ {-1/2,1/2}.

Brugbart svar (0)

Svar #7
14. januar 2016 af Therk

Korrekt. Hov, jeg AskTheAfghan, jeg så ikke det var dig. :)

Skriv et svar til: kvotientkriteriet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.