Beregn parablens forskrift

Normalt skal du bruge tre punkter for at bestemme forskriften for en parabel.
Men jeg tænker, at oplysningen: 

Overgangen mellem linjestykket AB og punktet B parablen er glat

har betydning, det må vel betyde, at en tangent til parablen i punktet B har
samme ligning som den rette linje gennem punkterne A og B, hvilket vel må kunne bruges.

Du har hældningskoefficienten a_AB for linjen gennem punkterne A og B
hældningskoefficienten for tangenten til parablen i punktet B er den samme,
hvilket betyder, at f'(8) = 2·a·8 + b =  a_AB (f er forskriften for parablen)

så kan du vel opstille tre ligninger, der kan bruges til at bestemme værdierne
for a, b og c i ligningen for parablen f(x) = ax² + bx + c

Men de tre løsninger jeg har, er det ikke dem her:

f'(x)=2*a*8+b

4,01=a*8^2+b*8+c

3=a*14^2+b*14+c

Hvis det er sådan, så kan de altså ikke løses. jeg har prøvet

  I     196a + 14b + c  =  3
 II     16a       + b        =  tan 26,6º
III     64a     + 8b + c  = 8·tan 26,6º

Jeg forstår godt de to første, men ikke nr. 3. Hvordan bliver '64a     + 8b + c  = 8·tan 26,6º'?

Jeg kan godt se, at 8*tan(26,6) giver de 4,01 - men hvorfor må vi skrive det??

|BF| = f (8) = 8·tan 26,6º
Undlad så vidt muligt at afrunde undervejs. Vent med det til resultatet.

Men hvorfor er f(8)=8*tan(26,6)? Det er jo f'(x) der er lig tan(26,6)

#8

fordi linjen indeholdende linjestykket
har ligningen:
                            

som specifikt for

giver
                           ,  da kurven er "glat"
hvilket betyder, at linjen indeholdende linjestykket er tangent til i
           
          
               
   

Nååååå. Jeg forstår nu. Det er fordi tan(26,6) er det samme som a (hældningen)

#0.

Man skal finde y_T = c - b²/4a for parablen f(x) = ax² + bx + c gennem B og C med samme hældning som AB. Af tegningen i #1 ses, at B = (8,y_B), C = (8+6,y_C) = (14,y_C) og hældning i B (α_B) = tan(26,6º) = 0,5. Man finder ved hjælp af trigonometri: y_B: tan(26,6º) = y_B/8 => y_B = 8·tan(26,6º) = 4. y_C: tan(180º-135º) = y_C/3 => y_C = 3·tan(45º) = 3. Dvs: B = (8,4) og C = (14,3).

I stedet for at se på den oprindelige koordinatsystem, kan det være en fordel at flytte y-aksen, så den går gennem B som vist nedenunder.

For den nye parabel f₁(x) = a₁x² + b₁x + c₁ gælder, at y_T = c₁ - b₁²/4·a₁. Man ser umiddelbart, at c₁ = y_B = 4 og b₁ = hældning i B = 0,5. a₁ findes ved at indsætte punktet C som er (6,3) i nye koordinater: 3 = a·6² + 0.5·6 + 4 => a = -1/9.

Dette giver y_T = 4 - 0,5²/(4·(-1/9)) = 4 + 9/16 = 4,56.

#11

Der skulle stå y_T = 4,56.

Af
       
haves
digehøjden

Det er fristende at antage, at  |BF| = 4  på skitsen i # 1
ud fra betragtningen
26,550º < BAF < 26,649º   ⇒  0,4996... < tan BAF < 0,5018...
I så fald får vi
a = - ¹/₉
b = ⁴¹/₁₈
c = - ⁶⁴/₉