Mængde-formel

Jeg mener ikke den tomme mængde Ø kan være en delmængde af noget.

 Det har du misforstået, den tomme mængde er en delmængde af hvilken som helst mængde. Desuden er en mængde også en delmængde af sig selv. Altså elementet a er ikke en delmængde af A₁, men mængden {a} er en delmængde af A₁. Altså har den tomme mængde 1 delmængde, nemlig den tomme mængde, A₁ har 2 delmængder, den tomme mængde og sig selv.

Lad os prøve at tælle delmængderne for A₃={a,b,c}:

Ø,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}, altså er der 8 delmængder af A₃, prøv nu at find det rigtige antal delmængder for resten af mængderne og se om du kan se et system der giver anledning til en formel? :)

Ok... det prøver jeg

Hvis du har skrevet opgaven rigtig op, har du misforstået det. Du skal i første omgang ikke finde antallet af delmængder men selve delmængderne. Her skal du være opmærksom på at den oprindelige mængde og den tomme mængde altid er en delmængde For  A₀ er delmængderne den ene Ø. For A1 er det {a} og Ø o.s.v.

Ok, er nået frem til følgende:

A₀ har delmængden {Ø}  = 1
A₁ har delmængderne {Ø} og {a} = 2
A₂ har delmængderne {Ø}, {a}, {b} og {a,b} = 4
A₃ har delmængderne {Ø}, {a}, {b}, {c}, {a,b,c}, {a,b}, {a,c}, {b,c} = 8 delmængder
jeg antager så at mængden A₄ har 16 mængder.

Gælder så:
A_n = 2A_n-1 ?

Hvordan skriver man overhovedet reglen op?

Opgaven lyder i øvrigt ordret:

Opskriv samtlige delmængder i hver af mængderne A₀, A₁, A₂, A₃, A₄
  &
Forsøg på grundlag af resultaterne at bestemme en formel for, hvor mange delmængder en mængde med n elementer har.

Ja, hvis vi nu i stedet for ser på A₁, den har 2¹=2 delmængder, A₂ har 2²=2·2=4 delmængder, A₃ har 2³=2·2·2=8 delmængder.

Generelt har en mængde A_n med n elementer 2ⁿ delmængder. Bemærk at dette også holder for n=0: A₀ har 2⁰=1 delmængde.

Hehe... sjovt jeg overså at næste inkrement af n svarede til 2ⁿ ...
men så er Antallet af delelementer i A_n = 2ⁿ

Altså antallet af elementer i mængden bestående af alle delmængder af A_n er 2ⁿ, ja. Jeg ved ikke hvad du mener med "delelementer"? Ofte kaldes mængden af alle delmængder for potensmængden. Man kan skrive at:

, hvor |.| betyder "antallet af elementer i", og P(.) betyder potensmængden.

#4 Du skal passe på med hvordan du udtrykker dig. A₀ har en delmængde nemlig Ø. {Ø} er en mængde med et element nemlig Ø og det er meningsløst at skrive {Ø} = 1   {Ø} er en mængde og ikke et tal. For A₁ gælder på samme måde at {a, b} er en mængde ikke et tal og kan derfor ikke være 4.

samme type fejl optræder i det følgende

Det ved jeg godt. Lighedstegnet skulle antyde antallet af delmængder. Det ville kræve flere lange sætninger at opskrive det ellers.

Men det er bestemt ikke hensigtsmæssigt at benytte lighedstegn hvor en lighed ikke er gældende. Som f.eks. i #4, så hellere finde en ordentlig notation, eller skriv det ud med ord.