Matematik

Bayes rule

09. marts 2016 af 2008z26 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej alle. Jeg kæmper lidt med nedenstående opgave:

En forsker bemærker forekomsten af ??en begivenhed A som et resultat af et bestemt eksperiment. Der er tre forskellige hypoteser, H1, H2, og H3, som forskeren betragter som den eneste mulige forklaring på forekomsten af ??A. Under hypotesen H1, skal eksperimentet producere resultatet A omkring 10% af tiden i det lange løb, under H2 omkring 1% af tiden, og under H3 ca. 39% af tiden. Under observationen af A, beslutter forskeren, at H3 er den mest sandsynlige forklaring, og at sandsynligheden for, at H3 er sandt, er:

39% / (10% + 1% + 39%) = 78%

a) Hvilken antagelse gør forskeren sig brug af?

b) Er sandsynligheden på 78% en langsigtet fortolkning?

c) Antag at forsøget er en laboratorietest på en blodprøve fra et individ tilfældigt udvalgt fra en bestemt population. Hypotese Hi er, at den enkeltes blod er af en vis bestemt type i. Over hele befolkningen er det kendt, at andelen af ??personer med blod af type 1 er 50%, andelen med type 2 blod er 45%, og de resterende af type 3. Lav en ny beregning af sandsynligheden for H3 givet A, så den indrømmer en langsigtet fortolkning. Er H3 stadig den mest sandsynlige hypotese?

Jeg ved det er Bayes formel der skal benyttes, men hvordan løser jeg disse spørgsmål?

Mange tak!

Brugbart svar (1)

Svar #1
09. marts 2016 af SådanDa

Dette er ikke min stærkeste side, men jeg kan se at du har spurgt ind til denne opgave et par gange, så nu prøver jeg lige om jeg kan hjælpe dig, så du (eller andre) må endelig sige til, hvis jeg vrøvler alt for meget.

Opgaven giver os følgende sandsynligheder:

$\mathbb{P}(A|H_1)=0,1$ , $\mathbb{P}(A|H_2)=0,01$ og $\mathbb{P}(A|H_3)=0,39$ .

Beyes' formel er:

$\mathbb{P}(A|B)=\frac{\mathbb{P}(B|A)\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}$ , og vi ønsker at finde $\mathbb{P}(H_3|A)$ , altså:

$\mathbb{P}(H_3|A)=\frac{\mathbb{P}(A|H_3)\mathbb{P}(H_3)}{\mathbb{P}(A)}$

P(A) kan under antagelsen, at kun H₁,H₂ og H₃ kan forklare A, omskrives ved hjælp af loven om total sandsynlighed:

$\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(A|H_1)\mathbb{P}(H_1)+\mathbb{P}(A|H_2)\mathbb{P}(H_2)+\mathbb{P}(A|H_3)\mathbb{P}(H_3)$ .

Bemærk her at hvis det antages at: $\mathbb{P}(H_1)=\mathbb{P}(H_2)=\mathbb{P}(H_3)$ , kan vi skrive:

$\mathbb{P}(A)=\left(\mathbb{P}(A|H_1)+\mathbb{P}(A|H_2)+\mathbb{P}(A|H_3)\right)\mathbb{P}(H_3)$ og vi har altså at:

$\mathbb{P}(H_3|A)=\frac{\mathbb{P}(A|H_3)\mathbb{P}(H_3)}{\mathbb{P}(A)}=\frac{\mathbb{P}(A|H_3)\mathbb{P}(H_3)}{\left(\mathbb{P}(A|H_1)+\mathbb{P}(A|H_2)+\mathbb{P}(A|H_3)\right)\mathbb{P}(H_3)}$

$=\frac{\mathbb{P}(A|H_3)}{\mathbb{P}(A|H_1)+\mathbb{P}(A|H_2)+\mathbb{P}(A|H_3)}$ under antagelsen at alle hypoteserne er lige sandsynlige.

I opgave c får du at vide at disse sandsynligheder ikke er lige store, så prøv at sætte de opgivne størrelser for P(H₁),P(H₂) og P(H₃) ind i stedet for?

Jeg håber det giver lidt mening? :)

Svar #2
09. marts 2016 af 2008z26 (Slettet)

Argh, det giver okay mening. Dvs. at P(H1)=P(H2)=P(H3)=1/3.

Men vil det så sige, at jeg i spørgsmål c) har:

$P(H3\mid A)=\frac{0,05}{0,5+0,45+0,05}=0,05$

? Eller er jeg forkert på den her?

Brugbart svar (1)

Svar #3
09. marts 2016 af SådanDa

Ja, P(H1)=P(H2)=P(H3)=1/3, jeg vil tro at det er den antagelse de leder efter at forskeren gør sig.

Med c) ville jeg opskrive formlen som:

$\mathbb{P}(H3|A)=\frac{\mathbb{P}(A|H3)\mathbb{P}(H3)}{\mathbb{P}(A|H1)\mathbb{P}(H1)+\mathbb{P}(A|H2)\mathbb{P}(H2)+\mathbb{P}(A|H3)\mathbb{P}(H3)}$ , på samme måde som jeg skrev i #1. her er så P(H1)=0,5, P(H2)=0,45 og P(H3)=0,05, og P(A|H1)=0,1, P(A|H2)=0,01 og P(A|H3)=0,39. Så er det bare at sætte ind.

Svar #4
09. marts 2016 af 2008z26 (Slettet)

Okay, nu giver det mening. Ligesom du egentlig skrev i første besvarelse, at sandsynlighederne nu ikke længere er lige store (lige sandsynlige). Derfor skal de nye sandsynligheder erstattes med de 1/3.

Mange tak for svar!

Brugbart svar (0)

Svar #5
09. marts 2016 af SådanDa

Jaa, omvendt, de 1/3 skal erstattes med de nye sandsynligheder, men jeg tror du har fanget den!

Det var så lidt :)

Svar #6
09. marts 2016 af 2008z26 (Slettet)

Præcis ;-)

Skriv et svar til: Bayes rule

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.