Matematik

Evaluer dobbeltintegral..

05. april 2016 af Ukdt2 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej,

Nogle, der vil guide mig gennem vedhæftede opgave.. :)

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2016-04-05 kl. 11.04.58.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. april 2016 af SørenFr (Slettet)

Lad f(x,y)=6*(x^4+2x^2y^2+y^4)

Formålet med opgaven er at finde ud af hvad dine grænser skal være i integralet. Dem finder vi ud fra de restrictioner du får givet. I dette tilfælde er de lidt besværlige. Altid i sådanne opgaver skal du starte med at tegne dit domaine D. Det gør det meget nemmere. Hvis vi bare betragner den første begrænsning som er $0\leq x^2+y^2 \leq 2$ ?. Dette domaine er en cirkel med origo centrum 0 og radius 2 hvor vi kun kigger på første kvadrant. Hold x fast i intervallet 0 til 2. Dermed må y ligge i intervallet $0\leq y \leq \sqrt{2-x^2}$

Da bliver integralet:

$6\int_0^2 \int_0^{\sqrt{2-x^2}} (x^4+2x^2y+y^4) dy dx$

Som du nu kan regne ud. I dette example har jeg ignoreret betingelsen x=y. Dvs det integrale som jeg har vist ovenfor integere over et for stort domane. dvs du skal nu minus det med det integrale du får ved at interegere over den del vi ikke skal have med (tegn domanet, så er det klart).

Opgaven kan også løses med at bruge begge betingelser på en gang. Vores billede er en cirkel i første kvadrant med radius 2 og identitets afbildningen.da y er begrænset af 2 forskellige funktioner er vi igen nød til at dele det op i 2 tilfælde. I det første tilfælde er vores variable y begrænset af identitets funktioen. Da fås at $0 \leq x \leq 1$ da

$0 \leq x^2+y^2 \leq 2 \Rightarrow x^2+x^2 \leq 2 \Rightarrow x\leq 1$ ?

Vores første grænser bliver da

$\int_0^1 \int_{\sqrt{2-x^2}}^2 f(x,y) dy dx$

i det næste tilfælde hvor $1\leq x \leq 2$ er y begrænset af cirklen som giver et upper bound på $x^2+y^2 \leq 2 \Rightarrow y \leq \sqrt{2-x^2}$ ? dvs

$\int_1^2 \int_0^{\sqrt{2-x^2}} f(x,y) dy dx$

Vores integrale over vores domain D bliver da

$\int_0^1 \int_{\sqrt{2-x^2}}^2 f(x,y) dy dx+\int_1^2 \int_0^{\sqrt{2-x^2}} f(x,y) dy dx$

alt er ikke skrevet helt klart, så bare spørg ind til nogle af delene. (tag forbehold for små fejl)

Svar #2
06. april 2016 af Ukdt2 (Slettet)

Tusind tak! :)

Men det er lidt svært at forstå..

Skriv et svar til: Evaluer dobbeltintegral..

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.