Mat repetition

Opgave 1

I en model betegner O(x) (målt i kr.) en virksomheds samlede omkostninger ved en produktion på x enheder af et bestemt produkt. Den pris pr. enhed, som virksomheden kan sælge samtlige x enheder for, betegnes a(x) (målt i kr.). I modellen antages det, at:  
O(x) = 0,0024x² + 106 og a(x) = -0,008x+1300 .

I modellen kan virksomhedens fortjeneste ved salg af samtlige x enheder bestemmes ved
F(x) = x·a(x)–O(x) .

Bestem en forskrift for F(x) og benyt forskriften til at bestemme det antal enheder, som virksomheden skal fremstille for at gøre fortjenesten størst mulig

F(x)=x*(-0,008x+1300)-0,0024x²+106

F(x)=-0,008x²+1300x-0,0024x²+106

F(x)=-0,0104x²+1300x+106

Løser F'(x)=0 for størst mulig indtægt. 

F'(x)=-0,0208x+1300=0

-0,0208x=-1300

x=62500

Da parablen vender grenene nedad, er x=62500 maksimum for funktionen. Virksomheden skal fremstille 62500 enheder for at gøre fortjenesten størst mulig

Opgave 2

Et andengradspolynomium er bestemt ved f(x)=-5x²+bx+c

Hvor b og c er tal. Det oplyses, at f har rødderne 3 og 7

Bestem b og c

Det gælder, at når et andengradspolynonie har to rødder, kan det faktoriseres på formlen a*(x-r₂)(x-r₁)

Vi ved, at a=-5, r₁=3 og r₂=7 det kan indsættes i a*(x-r₂)(x-r₁)

-5*(x-3)(x-7)

-5*(x*x+x*-7-3*x-3*-7)

-5(x²-7x-3x+21)

-5(x²-10x+21)

-5x²+50x-105

b=50 og c=-105

Opgave 3

f(x)=x+16/x  x>0

Bestem f'(x) og gør rede for, at funktionen har et minimum

f'(x)=-16x^-2+1

Løser f'(x)=0

x=-4 og x=4

Da x>0 forkastes x=-4

x               2               4              6

f'(x)           -                0              +

Grafen starter ud med at aftage og rammer et minimum i x=4

Opgave 4

For hvilke tal k≠0 har ligningen kx²+kx-1=0 én løsning?

Min løsning

Vi har at gøre med en andengradsligning på formlen ax²+bx+c=0

Når d=0, så har andengradsligningen én løsning

d=b²-4*a*c

d=0, a=k, b=k og c=-1

0=k²-4*k*-1

0=k²+4k

0=k*(k+4)

Løser ved hjælp af nulreglen

k=0 V k+4=0

k=0 V k+4-4=0-4

k=0 V k=-4

Da det kræves, at k er forskellig fra 0, forkastes 0 som løsning. Når k=-4, så har andengradsligningen én løsning

Opgave 5

Bestem ∫(x⁵+2x)dx

F(x)=1/6*x⁵⁺¹+1/2*2*x¹⁺¹+k

F(x)=1/6x⁶+x²+k

Opgave 6

f er bestemt ved f(x)=3x²-21x+30

Bestem den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(5,10)

F(x)=1/3*3*x²⁺¹-1/2*21*x¹⁺¹+30x+k

F(x)=x³-10,5x²+30x+k

Det gælder, at F(5)=10

10=5³-10,5*5²+30*5+k

10=12,5+k

k=-2,5

F(x)=x³-10,5x²+30x-2,5 er en stamfunktion til f(x)=3x²-21x+30 og går gennem punktet (5,10)

Skal snart op til mat skriftlig, så det ville være en stor hjælp, hvis der lige var en der kunne kigge det igennem og give lidt feedback

Tusind tak og god weekend til alle