Matematik

Cirkler,linjer,Punkter

15. maj 2016 af Sarah45 (Slettet) - Niveau: A-niveau

En cirkel "c" har ligningen

                    x^2 + y^2 + 6 x + 4 y = 12
. Afgør ved beregning om nedenstående punkter ligger indenfor cirklen, uden for cirklen eller på cirklen.
                  P(0, 2) Q(1, -6) R(-5.5, 2)
(.b.) Tegn cirkel og punkter og verificer dine resultater

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. maj 2016 af mathon

x^2 + y^2 + 6 x + 4 y = 12
er identisk med
(x+3)^2+(y+2)^2=5^2

hvis der om punktet (x,y)
gælder:
                   (x+3)^2+(y+2)^2>5^2            ligger punktet uden for cirklen
                   (x+3)^2+(y+2)^2=5^2            ligger punktet på cirkelperiferien
                   (x+3)^2+(y+2)^2<5^2        ligger punktet inde i cirklen

Svar #2
15. maj 2016 af Sarah45 (Slettet)

#1
                    x^2 + y^2 + 6 x + 4 y = 12
er identisk med


hvis der om punktet
gælder:
                              ligger punktet uden for cirklen
                              ligger punktet på cirkelperiferien
                          ligger punktet inde i cirklen

Så hvis jeg skal beregne det for de forskellige punkter er det vel bare om at omskrive ligninger med de gældende punkter?

Svar #3
15. maj 2016 af Sarah45 (Slettet)

#1
                    x^2 + y^2 + 6 x + 4 y = 12
er identisk med


hvis der om punktet
gælder:
                              ligger punktet uden for cirklen
                              ligger punktet på cirkelperiferien
                          ligger punktet inde i cirklen

Men, hvorfor er den egentlig identisk med [(x+3)^2+(y+2)^2=5^2]

Brugbart svar (0)

Svar #4
15. maj 2016 af mathon

…fordi
                    x^2+6x=(x+3)^2-3^2
          og                                                              folkeskolens kvadratsætninger, som bør kunnes på mat A
                    y^2+4x=(y+2)^2-2^2

så for
x^2+6x+y^2+4y=12

(x+3)^2-3^2+(y+2)^2-2^2=12

(x+3)^2+(y+2)^2=25

(x+3)^2+(y+2)^2=5^2

(x-(-3))^2+(y-(-2))^2=5^2 til sammenligning med standardformlen

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Svar #5
15. maj 2016 af Sarah45 (Slettet)

#4
…fordi

          og                                                              folkeskolens kvadratsætninger, som bør kunnes på mat A


så for








                         til sammenligning med standardformlen

Hm, det giver nok mening, men for at finde ud om de forskellige punkter ligger uden på cirklen eller ej , så er det vel bare om at anvende cirklens ligning, hvis man f.eks.

Cirklen med centrum i (1, 4) og med r=5 har ligningen

(x−1)2+(y−4)2=25(x−1)2+(y−4)2=25

Punktet A(4, 8) ligger på cirkelens periferi, fordi

(4−1)2+(8−4)2=32+42=9+16=25=r2(4−1)2+(8−4)2=32+42=9+16=25=r2

Punktet B(2,-1) ligger ikke på cirkelens periferi, fordi

(2−1)2+(−1−4)2=12+(−5)2=1+25=26≠r2

Det gælder vel bare om at gøre det samme for de forskellige punkter, hvilket jeg lige prøver at finde frem til!

Brugbart svar (0)

Svar #6
15. maj 2016 af mathon

…den korte version af #4

x^2+y^2+2fx+2gy+h=0
har centrum
C(-f,-g) og radius $r=\sqrt{f^2+g^2-h}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
15. maj 2016 af Soeffi

#1

Udmærket set, men kan man ikke nøjes med at undersøge, om x^2 + y^2 + 6 x + 4 y er > = < 12. For komme fra den ene til den anden form lægger man jo det samme til på begge sider.

Brugbart svar (0)

Svar #8
15. maj 2016 af mathon

#7
…selvfølgelig kan man det.

   Men #1 slår mere på noget "visuelt", hvilket du ellers dyrker meget.
   Hvis jeg havde fremført løsningsmåden i #7, havde du sandsynligvis straks
   leveret en visuel geogebra-løsning.

Svar #9
15. maj 2016 af Sarah45 (Slettet)

#6
…den korte version af #4


har centrum
                        og radius $r=\sqrt{f^2+g^2-h}$

Nu er jeg lidt forvirret, for at finde ud af om de forskellige punkter ligge inden for cirklen osv, når den har ligningen: x^2 + y^2 + 6 x + 4 y = 12 så er det vha cirklens ligning, og der gælder det vel bare om at addere på begge sider??

Brugbart svar (0)

Svar #10
15. maj 2016 af mathon

(0+3)^2+(2+2)^2=5^2

(1+3)^2+(-6+2)^2>5^2

(-5.5+3)^2+(2+2)^2<5^2

Brugbart svar (0)

Svar #11
15. maj 2016 af mathon

#9 i anvendelse:

x^2 + y^2 + 6 x + 4 y +(- 12)=0

$x^2 + y^2 + 2\cdot 3 x + 2\cdot 2 y +(- 12)=0$

har centrum
C(-3,-2) og radius $r=\sqrt{3^2+2^2-(-12)}=\sqrt{25}=5$

Svar #12
16. maj 2016 af Sarah45 (Slettet)

#11
#9 i anvendelse:

$x^2 + y^2 + 2\cdot 3 x + 2\cdot 2 y +(- 12)=0$

har centrum
og radius $r=\sqrt{3^2+2^2-(-12)}=\sqrt{25}=5$

Men, hvordan ville man tegne cirklen med de angivne punkter, det eneste jeg får ud af det er booleske værdier, når jeg skriver dem eller så kan GeoGebra ikke finde ud af det!

Brugbart svar (0)

Svar #13
16. maj 2016 af Soeffi

#12 Men, hvordan ville man tegne cirklen med de angivne punkter, det eneste jeg får ud af det er booleske værdier, når jeg skriver dem eller så kan GeoGebra ikke finde ud af det!

Definer funktionen f(x,y):= (x+3)^2 + (y+2)^2 - 25. Beregn:

f(P) → 0 på cirklen

f(Q) → 7 udenfor

f(R) → -2,75 indenfor

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2016-05-16 kl. 19.59.22.png

Skriv et svar til: Cirkler,linjer,Punkter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.