Bevis for diskriminanten

Tag udgangspunkt i formlem for en andengradsligning:

ax²+bx+c=0

Du starter med at gange med 4a.

4a(ax²+bx+c)=4a*0

4a²x²+4bx+4ac=0

Herefter ligger du diskriminanten: b²-4ac til.

4a²x²+4abx+4ac+b²-4ac=0+b²-4ac

Nu ser du på hvad der går ud med hinanden. Højresiden skriver du som d, da matematikere er dovne.

4a²x²+4abx+b²=d

Herefter faktoriserer du:

(2ax)²+4abx+b²=d

Du benytter kvadratsætning 1:

(2ax+b)²=d

1. Hvid d<0, er der ingen løsninger, da du ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal.

2. Hvis d=0, er der en løsning.: x=(-b)/2a Vi får derfor: (2ax+b)²=0

    2ax+b=0, trækker b fra på begge sider

    2ax=-b, dividerer med 2a på begge sider.

    x=(-b)/(2a)

3. Hvis d>0, er der to løsninger: se link for resten af beviset

http://www.matema10k.dk/fileadmin/pdf-c/alg-andengradsbevis.pdf

#0  Det holder ikke sæt a=0 og x = 1. Venstre side bliver så 1, højre side 0

Hvad har det med diskriminanten at gøre ?

#2, a≠0 pr. definition. Ellers er der ikke længere med en andengradsligning at gøre. I hvert fald hvis det er på formen ax²+bx+c=0, hvilket er den der bruges til beviset af diskriminanten.

#3 så kan du sætte x = 0 og a=1, hvis du foretrækker det. Det giver venstre side 4 og højre side 0. Du kan også sætte dem til andre værdier hvis du har lyst. Det er ret åbenlyst at det ikke gælder generelt. Jeg tog bare eksemplet med for at overbevise trådstarteren. Jeg kan faktisk ikke se at dette har noget med diskriminanten at gøre. Som ligning kan du løse den med

4a²+x²=2(ax)² <=> 4a² = 2a²*x²-x² = (2a²-1)x²  som har 2 løsninger for 2a²-1> 0 og 1 løsning for a=0

#0     Nej, det er ikke korrekt. Hvad er spørgsmålet helt præcis?

#1     Hvis man taler om de komplekse tal, kan man godt tage kvadratroden af et negativt tal. Men det er nok bedre at kigge på venstre siden, (...)² = d. Hvis d var negativ, ville venstresiden også være negativ, men det er ikke muligt, idet venstresiden vil altid være positiv (inkl. 0). Derfor har ligningen ikke nogen (reelle) løsninger.

kort
           underforstået  
 

#0
              4a²+x² = 2(ax)²     er forkert

              4a²·x² = (2ax)²  

#5

#0     Nej, det er ikke korrekt. Hvad er spørgsmålet helt præcis?

#1     Hvis man taler om de komplekse tal, kan man godt tage kvadratroden af et negativt tal. Men det er nok bedre at kigge på venstre siden, (...)² = d. Hvis d var negativ, ville venstresiden også være negativ, men det er ikke muligt, idet venstresiden vil altid være positiv (inkl. 0). Derfor har ligningen ikke nogen (reelle) løsninger.

Jeg har bare taget den definition man bruger i gymnasiet. Det er det, vi har fået at vide på A-niveau i år.

#8     Det er også OK. Dette skyldes nok definitionen, at afbildningen x √(x) er defineret for alle x ∈ R_≥0. For mig, er det bedre at man fortolker det på en anden måde (jeg siger ikke, at det er forkert). Du kan selv tjekke det på side 2 øverst i dit link.