Matematik

Bevis.

17. september 2016 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude. Jeg skal bevise at $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \leq 2 \Rightarrow (x-y)^2 \leq 0$ .
Nu er jeg helt lost.
Vil nogen derude guide mig punktvis med opgaven?

Opgaven lyder som:

2. Lad x og y være positive reelle tal. Vis at

$\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \leq 2 \Rightarrow (x-y)^2 \leq 0$

Brug dette til at give et modstridsbevis for følgende sætning: Hvis x og y er forskellige positive reelle tal, da er :

$\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} > 2$

Jeg håber, at høre fra nogen derude. På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. september 2016 af peter lind

Gang uligheden med x*y og træk de 2xy på højre side over på venstre side. Brug dernæst reglen om kvadratet på en toleddet størrelse

Svar #2
17. september 2016 af Rossa

Ok, jeg kommer til at x^2 + y^2 -2xy >0
x^2 + y^2 -2xy = (x-y)^2 >0
og dette burde gælde hvis $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}>2$ ,

Så skal konkludere man, at hvis $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} <2$ , , så medfører det, at (x,y)^2 <0 ?

Hvad skal man gør mere, for at "beviset" er helt færdig?

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. september 2016 af Soeffi

...

Brugbart svar (0)

Svar #4
17. september 2016 af Therk

#2: Din første ulighed vender forkert.

$\frac xy + \frac yx \leq 2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac xy\cdot xy+\frac yx\cdot xy\leq 2xy \quad \Leftrightarrow \quad x^2+y^2-2xy \leq 0, \quad x,y\neq 0$

Faktorisér det sidste udtryk og du har vist den første del.

$\rule{7cm}{0.4pt}$

Brug nu det til at bevise at der må eksistere x og y så

$\frac xy + \frac yx \not > 2$

(Hint: Et kvadreret udtryk kan ikke være negativt, så det er lighedstegnet i "mindre end eller lig", der hjælper dig i mål)

Brugbart svar (0)

Svar #5
17. september 2016 af peter lind

du har vendt ulighedstegnet i forhold til #0. Hvad er det rigtige ?

Jeg går ud fra at #0 er rigtig

Hvis x og y e foskellige er højre side jo positiv, hvilket er i modstrid med den første beviste sætning

Svar #6
17. september 2016 af Rossa

#4 Therk

Beviset går ud på antagelsen, at $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} > 2$ .

Nu har jeg forstået, at kvadreret udtryk kan ikke være negativt.

Jeg er ikke med med det matematisk tegn $\nless$ .
Mener du, at skal antage, at $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2$ eller $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} > 2$ ?

Brugbart svar (0)

Svar #7
17. september 2016 af Therk

#6
#4 Therk

Beviset går ud på antagelsen, at $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} > 2$ .

Korrekt. Og du har lige fundet et resultat for $\text{``}\leq\text{''}$ .

Nu har jeg forstået, at kvadreret udtryk kan ikke være negativt.

Så hvad med den ikke-negative del af resultatet? For hvilke x,y gælder der så at Kan de {x,y} bruges til at lave den modstrid du skal?

Jeg er ikke med med det matematisk tegn $\nless$ .
Mener du, at skal antage, at $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2$ eller $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} > 2$ ?

Beklager forvirringen, men pas på med ikke at vende dine uligheder forkert. læses som "ikke (strengt) større end" - det er det samme som det mere velkendte "mindre end (eller lig)".

Jeg brugte $\not >$ (\not >) fordi du i dit bevis skal finde en modstrid for - det fremhæver blot resultatet.

_{Generelt: En lodret streg gennem et tegn betyder en negation af det normale brug af tegnet. Ligesom = og ≠.}

Svar #8
17. september 2016 af Rossa

For at $\inline (x-y)^2 = 0$ så skal x= y = 0 , så $(x-y)^2 \leq 0$ kun hvis x =y =0, ellers er det falsk.

Jeg kan ikke se, hvordan kommer modstridet her på billedet?

Brugbart svar (0)

Svar #9
17. september 2016 af peter lind

(x-y)² = 0 <=> x = y

x og y behøver ikke at være 0. Hvis for eks. x = y = 4 får man (4-4)² = 0

Svar #10
17. september 2016 af Rossa

Jeg er en lille smule med. Jeg forstå på den måde, at hvis x = y så er $(x-y) \leq 0$ sand.

Udtrykke t $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \leq 2$ er ikke sandt, og $(x-y) \leq 0$ er heller ikke sandt for alle positive reelle værdier.

Kan noget falsk medføre noget andet falsk?

Jeg er lidt forvirret over, da det gælder kun for x =y

Brugbart svar (0)

Svar #11
17. september 2016 af peter lind

falsk kan godt medføre noget falsk men noget sandt kan ikke medføre noget falsk

Der er vist at

x>0, y > 0og x/y+y/x ≥ 2 => (x-y)²≤0

hvis x≠y vil højre side i (x-y)² ovenfor være positiv og altså er højre side ikke sandt. Noget sandt kan ikke medføre noget falsk så påstanden x/y+y/x ≥ 2 vil være falsk.

Det kaldes et indirekte bevis

Skriv et svar til: Bevis.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.