Differentialligninger

Kald populationens størrelse til tiden t for y(t)
Hvad vil du da kalde populationens væksthastighed?
Hvad vil det sige, at de to størrelser er proportionale?
Skriv det proportionelle forhold ned med benyttelse af konstanten 0,084
Løs dernæst ligningen for y(0) = 10

y'=k*y(t)

Så populationens størrelse til tiden t: y(t)

=populationens væksthastighed: y'

proportionalitetskonstanten 0,084: k

=dy/dx=k*y(t) som har løsningen f(x)=c*e^0,084x

og c må vel svarer til de ti individer? Så løsningen hedder f(x)=10*e^0,084x

High five !
 

Aha, så det er altså "bare det"? :p

Ja, det er den mest simple differentialligning. De kan blive ret ondskabsfulde ind imellem, men er som regel til at få tøet op.

Super. Har lige to spørgsmål mere.

B) Bestem ved hjælp af modellen antallet af individer efter 7 døgn.

Er det bare istedet for y(t) sige y(7)= populationens størrelse til tiden

=populationens væksthastighed: y'

proportionalitetskonstanten 0,084*7: k

=dy/dx=k*y(t) som har løsningen f(x)=10*e^0,084*7

Altså man indsætter de 7 døgn på x's plads?

Ja, efter t = 7 døgn er populationens størrelse  y(7) = 10·e^0,084·7
og hastigheden  y'(7) individer pr. døgn
 

Super, tak. Allersidste spørgsmål: 

I modellen antages det, at populationens vækst efter de 7 døgn ændrer sig, således at antallet y af individer i populationen som funktion af tiden t opfylder diff. ligningen 

dy/dt=0,0022y(199-y) 

Bestem, hvor mange døgn der går, før antallet af individer i populationen er nået 90% af populationens max. 

Hvordan gør jeg dette? Skal jeg bare løse differentialligningen?

Populationen er, efter den nye model, mættet, når antallet af individer er 199
Løs den nye ligning og find derefter t når
y(t) = 0,90·199
t er da antal døgn efter de første 7 døgn.

Så altså:

dy/dx=y(b-ay)<->y=f(x)=(b/a)/1+ke^-bx
dy/dx=0,0022y(100-y) <-> y=fx=100/(1+0,0022*e^-100x) ? 

#10 Hvorfor dy/dx=0,0022y(100-y)? I oplysningerne står der jo y' = 0,0022y·(y -199)
 Som punkt har du (7,y(7)) fra sp. B

Brug evt. dit CAS-værktøj. 

Pas på! Du har kaldt funktionenfor de første 7 døgn f(x), så du må kalde denne efter de første 7 døgn noget andet.

Hov, min fejl. Så det ligningen hedder altså y=fx=199/(1+0,0022*e^-199x)

#12 Jeg havde også lavet en fejl i #11: Den opgivne ligning hedder y' = 0,0022y·(199 - y) - jeg havde byttet om på y og 199.
Løsningsfomlen til differentialligninger af formen y' = a·y·(M - y)  (som denne er) er 

Din løsning: Eksponenten i nævneren og konstanten c er ikke rigtige - prøv igen.
Jeg får c = 215.4.

kay altså jeg har i min matematikbog den samme formel, den hedder bare:

dy/dx=y(b-ay) <-> y= f(x) = (b/a)/1+ke^-bx

Er det den jeg skal bruge?

Det kan du godt, men så skal du først gange 0.0022 ind i parentesen - ellers har ligningen jo ikke den rigtige form - men du kan også bruge den, jeg har angivet i #13.

Super. Men hvordan udregner du c?

Den nye funktion g skal jo fortsætte fra den første funktion f fra x = 7, så g(7) = f(7) (se #7)

Okay super, tak. Har lige et nyt spørgsmål:

Man har undersøgt løgfrøens overlevelsessucces i forskellige vandhuller på Djursland. Der er udsat et antal løgfrøhaletudser i hvert vandhul, og derefter har man målt løgfrøhaletudsernes længde hver dag i en periode over 3 måneder. Det har vist sig, at haletudsernes længde som funktion af tiden opfylder nedenstående differentialligning

dSt/dt=0,00575*St*(12-St)

Hvor St er længden (cm) til tiden t(døgn).
Det oplyses at til tiden t=0 er længden af en løgfrøhaltudse 0,5.
a) Bestem væksthastigheden for længden til det tidspunkt hvor længden af en løgfrøhaletudse er 4 cm.
b) Tegn en skitse af hvorledes væksthastigheden for længden afhænger af længden.
 

Til a har jeg fået følgende: 0,00575*4*(12-4)=0,184.

Hvordan laver jeg b'eren?

Du kan kalde længden x og væksthastigheden f(x), så har du f(x) = 0.00575x(12-x), som du kan tegne grafen for.