Pyramidestub

Jeg er ikke interesseret i løsningen, men blot et hint til hvordan jeg kommer igang. 

En metode:

Indlæg et koordinatsystem i pyramidestubben med orego i grundfladens midtpunkt og x-og y-akserne parallel med grundfladens sider.  Du kan så hurtigt finde koordinaterne til grundfladens hjørner. Ved brug af pythagoras kan du finde de halve diagonaler, der går fra z-aksen og ud til hjørnerne, både i grundfladen og i det lille kvadrat. Endnu en gang pythagoras giver dig højden. Dermed kan du få koordinaterne til de fire øverste hjørner. Dernæst benytter du tre hjørner i samme side til at finde ligningen normalvektoren til siden. Endelig kan du benytte skalarproduktet mellem to normalvektorer fra nabosider til at finde cosinus til den søgte vinkel.

Jeg har tænkt lidt over mit svar. Det var nok ikke, det bedste jeg kunne komme med, når man tage #1 i betragtning og faktisk var min tankerække helt anderledes:

"Vi skal finde en vinkel mellem to planer. Kan vi finde normalvektorerne, så kan vi bruge skalarprodukt. For at kunne det, er det bedst at have et koordinatsystem, men hvor. Vi kan udnytte symmetrien. Så liggerde fire nederste punkter fast. Hvordan med de øverste. Kantlængden ligefrem råber på pythagoras. Så skal vi have en retvinkelt trekant, hvor vi kender en katete. Den kan lægges i y=x-planen. Kateten findes ved hjælp af pythagoras brugt på de halve kantlængder og de halve diagonaler."

Jeg skrev dette ind, fordi jeg tror, det viser, hvordan jeg ser på "startstedet" og "målet" og prøver at finde en vej, hvor jeg ikke nødvendigvis "tegner" den første del først, men ser, at "der er nok noget med" og så prøver jeg at forbinde den idé med de to ender. Jeg ved ikke, hvornår jeg er begyndt at arbejde sådan, men det er faktisk sådan jeg ofte bærer mig ad.

Her er en tredje metode baseret på rent geometri

Skær pyramiden midt over langs diagonalerne i den nedre og øvre rektanglen. Skæringen bliver en pæn symmetrisk trapez, hvor du kan finde de parallelle sider(diagonalerne i endefladerne) samt længden af de skrå sider. Beregn højden i den trapez og dermed højden af keglestubben

Se dernæst på en snit gennem midten parallel med en af siderne. Resultatet  er igen en trapez igen med kendte parallelle sider. Højden er den samme som i den første trapz. Her kan du så beregne vinklerne

Nææh, du skal lægge en ligesidet trekant på skrå inde i pyramiden.Trekantens grundlinje går fra pyramidens ene hjørne til det diametralt modsatte. De to lige lange sider løber skråt op over pyramidesiderne og rammer en skrå kant i en ret vinkel. Men vinklen mellem de to trekantsider er ikke ret.         :)

En lille illustration af min ide. Se vedhæftede:

https://www.studieportalen.dk/Forums/ShowFile.aspx?id=1736048

Ups! i #6 mente jeg en ligebenet trekant.

#8

Vil det sige, at det endelige svar til opgaven er 64,5 grader?

Nej. Vinklen er stump.

Hvis du forestiller dig, at to nabosider er et stykke papir med en fold og grundfladen en kvadratisk plade, kan du vippe pladen fra at stå vinkelret på folden til at ligge plant mod papiret. Ved starten er vinklen i folden ret, ved slutningen er den 180 grader. Undervej ligger vinklens størrelse mellem disse to yderpunkter.

Hej igen-

Jeg har taget udgangspunkt i #1, men jeg forstår ikke helt '' Dernæst benytter du tre hjørner i samme side til at finde ligningen normalvektoren til siden ''

Vil du uddybe det?

#7 og #8   Hvorfor nææh ? Jeg kan ikke se hvad du laver og jeg kan ikke se at dine formler og længder har noget med sagen at gøre. Den eneste længde jeg kan få mening i er de 99

#10 en flade der står skrå i fohold til vandret har jo egentlig to vinkler med den vandrette plan, hvoraf den ene er spids og den anden er stump

Når jeg skrev "nææh" var det jeg ikke forstod hvad I andre mente. Jeg tænkte at jeg måske var den eneste der havde forstået opgaven.         :)

Jeg har lavet en 3D skitse, som bedre viser hvad jeg mener; se den vedhæftede fil. Jeg kan ikke selv finde ud af at vise den direkte her på siden.   :(

#12 Der er ikke tale om en vinkel mellem en side og vandret, men vinklen mellem to skrå sider, sådan som den vedhæftede figur i #13 viser. Den er markeret på den oprindelige figur. Denne vinkel kan ikke være spids.

Tak. Nu forstår jeg hvad du mener.

Der findes 3 indre vinkler nemlig:

1. Vinklen mellem grundfladen og en pyramideside

2. vinklen mellem den øverste flad og en pyramideside

3. Vinklen mellem to pyramidesider.

Jeg se på de to første vinkler.

Jeg ser først på en skæreflade som går gennem en diagonal grundfladen (for eks. AD på din anden figur)og står lodret. Dermed går den også gennem diagonalen i det øverste kvadrat. Resultatet bliver en trapez, hvor den nederste vandrette del har samme længde som en diagonal i grundfladen altså 99*kvrod(2)

Den øverste vandrette del har samme længde som diagonalen i det øverste kvadrat altså 16,5*kvrod(2). De skrå sider har samme længde som hjørnerne i pyramidestubben altså 86,4. Af den figur kan man så finde højden h af pyramidestubben.

Derefter ser jeg på en lodret skæreflade som går midt igennem pyramidestubben vinkelret på en af sidefladerne for eks gennem midten af AB og CD på din figur. Resultatet bliver igen en trapez med samme højde men længderne bliver nu siderne i de to kvadrater altså  99 og 16,2. De skrå sider kendes ikke. Af den trapez er det nemt at finde de to første søgte vinkler

I din første figur har du angivet længden af basis til 99. Det skal være 99*kvrod(2)

Nedenunder er vist løsningen for den tilsvarende pyramide. Generelt er løsningen følgende for en kvadratisk pyramide med ens sider. Man skal finde det punkt, C, på kanten af pyramiden, som danner en ret vinkel med punkterne A og B som vist på figuren. Ved at forbinde A, D og C får man en ligebenet trekant, hvor man skal finde topvinklen. Denne vinkel er vinklen mellem sidefladerne af pyramiden. 

Man starter med at bestemme vinkel B i trekant ABT, hvor |AT| = |BT|:

Man skal nu fidne |AC|, siden i den vinkel, hvor man skal finde topvinklen.

Man finder nu vinkel C i trekant ACD ved hjælp af en cosinusrelation, idet |AC| = |CD| og |AD| = (√2)·|AB|:

Ja, det er godt der endelig er nogen der kan regne lidt bedre end mig.               :)

#16 ...Man skal nu finde |AC|, siden i den trekant, hvor man skal finde topvinklen.