Matematik

linjeelementer til en differentialligning

25. marts 2017 af 321bj (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej alle sammen. Jeg har givet en differentialligning y´=3y, og før jeg beregner den fuldstændige løsning og den partikulære løsning, hvor kurven går gennem punkt (1,10) skal jeg beregner linjeelemterne til dette punkt og efterfølgende tegne en passende mængde af linjeelementer for at gætte på en løsning.

Jeg har 2 spørgsmål til dette:
1) er der et eller flere linjeelemter til punktet, og er dette rigtigt beregnet? y´=3y=3*10=30, Linjeelementet bliver hermed (x0,y0,y´)=(1,10,30) og hvis der er flere linjeelementer, hvordan beregner jeg så dem? er det bare at jeg fx gætter på at y også kan have en værdi der er 2 y-værdier både højere og lavere, og så vil linjeelementet også kunne hedde (-1,10,30), (0,10,30), (2,10,30) og (3,10,30) ?

2) når jeg skal tegne en passende mængde linjeelementer, hvad betyder det? skal jeg måske lave dem sådan at y kan være mellem 8-12 og skal jeg så også give x-koordinaterne værdier tilhørende? og vil dette så være mellem -1-3 eller hvordan?

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. marts 2017 af mathon

Et linjeelement består af et punkt (x,y) og og et minimalt linjestykke med midtpunkt i (x,y) og hældningskoefficient $\tfrac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} x}$ noteret som en tripel $\left (x,f(x),f{\, }'(x) \right )$ eller $\left (x,y,\tfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right )$

differentialligningen
$\tfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=3y$
har løsningen
$y=y_0\cdot e^{3x}$ gennem (1,10)
hvoraf linjeelementerne:

$\left (x,10e^{3(x-1)},30e^{3(x-1)} \right )$

Svar #2
25. marts 2017 af 321bj (Slettet)

#1 ok men hvordan skal jeg bestemme linjeelemterne, når jeg ikke skal løse differentialligningen først?

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. marts 2017 af mathon

…differentialligningen er løst i #1.

Brugbart svar (0)

Svar #4
25. marts 2017 af Number42 (Slettet)

Som du siger så prøv med flere værdier af y, fx 2,4,6,8,10..

y'= 6,12,18,24,30

og xo,yo = (1,10) ikke det du skriver.

LInieelementerne dertilsvarende er (1,10,6), (1,10,12),(1,10,18),(1,10,24),(1,10,30)

Så du trækker linier med hældningen y' gennem (1,10), hvilket linie element tror du passer bedst?

Svar #5
25. marts 2017 af 321bj (Slettet)

#4 ok så det er kun y´ der ændrer værdi og så skal jeg tegne hældningerne gennem punktet?

Svar #6
25. marts 2017 af 321bj (Slettet)

#4 og hvordan skal jeg gøre det i Math Cad?

Svar #7
25. marts 2017 af 321bj (Slettet)

#1 kan du forklare hvordan du har gættet på løsningen? kan se det er noget med at du har sat tangenthældningen ind foran e (ved konstanten C) og så har du skrevet 3(x-1) i eksponenten og når jeg tegner det ind, passer kruven fint, men hvordan kan det være?

Brugbart svar (0)

Svar #8
25. marts 2017 af Number42 (Slettet)

Du har y' = 3y som giver y'/y =3 og ln(y) =3x+C

Y = e^(3x) *yo ikke meget gætværk i det.

yo er integrationskonstanten find den og du får et e^1 i nævneren som giver dig e(x-1).

Svar #9
27. marts 2017 af 321bj (Slettet)

#8 får jeg ik e^3*1 i nævneren når jeg isolerer integrationskonstanten?
hvis jeg isolerer den kommer der d til at stå C = 10/e³, og så har jeg da ikke e i tælleren mere ?

tror stadig ikke jeg forstår det med at gætte på en løsning og komme med et kvalificeret gæt. Har bestemt den fuldstændige løsning og den partikulære løsning, men mangler at vise, hvordan jeg skal gætte på det

Skriv et svar til: linjeelementer til en differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.