Matematik

Sandsynlighedsregning

02. april 2017 af thekolder (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Vi kigger nu på en anden bog ligeledes med 109 sider. Antallet af trykfejl er ukendt. Ved at læse på 5 bestemte sider ?nder man, at der 8 fejl. Skriv et udtryk for sandsynligheden, P (Tn |D I ), for at hele bogen har n trykfejl (n ≥ 8) baseret på informationen (D ) om fejlene på de 5 sider.

Jeg kan ikke lige gennemskue hvordan jeg opskriver dette udtryk?

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. april 2017 af fosfor (Slettet)

Jeg kan ikke se hvordan bayes rule lige skal bruges her, men jeg er sikker på resultatet vil være det som følgende, hvor konstanten 1 bruges som improper prior:

Hvis vi siger at det totale antal fejl er kendt, så kan vi finde sandsynligheden for at der er 8 fejl på 5 bestemte sider. Dette er blot tætheden evalueret i x=8 for en binom(n, 5/109) fordeling, som er:

$\frac{(n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1) n}{63\cdot 2^{31-3 n}\cdot 13^{8-n}\cdot 109^n/78125}$

Hvis brøken er stor for et givet er der altså stor sandsynlighed for at finde 8 fejl på 5 bestemte sider, og derfor tror vi mere på sådanne . Summen af brøken over giver dog 5/109, så det skal man dividere med, for at kalde det en sandsynlighed.

Brugbart svar (0)

Svar #2
02. april 2017 af Therk

Kender du Poissonfordelingen?

Under informationen at der er 8 fejl på 5 sider, så er antal fejl per side (N_i) Poissonfordelt med middelværdi 8/5 (en side har 8/5 fejl i gennemsnit). Dvs. antal fejl i hele bogen (T) under D er givet ved

$T \mid D = 8+\sum_{i = 1}^{109-5}N_i$

hvor $N_i \sim \operatorname{Pois}(8/5)$ alle uafhængige. Det er nemt at vise vha. fx karakteristiske funktioner at summen af Poisson stokastiske variable også er Poisson (kender du det faktum?), dvs.

$S = \sum_{i = 1}^{104} N_i \sim \operatorname{Pois}(104\cdot 8/5).$

Fra Poissonfordelingen ved vi at

$P(S = n) = \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}$

hvor lambda er middelværdien (parameteren) for S. Derfor

$P(T = n\mid D) = P(S+8 = n) = P(S = n-8) = \frac{(104\cdot 8/5)^{n-8}}{(n-8)!} e^{-104\cdot 8/5}$

Svar #3
02. april 2017 af thekolder (Slettet)

Tak for hjælpen!

Skriv et svar til: Sandsynlighedsregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.