y^'+g(x)·y=h(x)

03. april 2017 af Miaaaaaaa (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg skal føre et bevis for følgende differentialligning: y'+g(x)*y=h(x)

Kender I nogle gode og korte videoer som fører beviset eller har i nogle noter til bevist? help me out

Brugbart svar (1)

Svar #1
04. april 2017 af mathon

Når
$G(x)=\int_0 g(x)\, \mathrm{d}x$
har man:
$y{\, }'+g(x)\cdot y=h(x)$ multipliceres med $e^{G(x)}$

$e^{G(x)}\cdot y{\, }'+e^{G(x)}\cdot g(x)\cdot y=e^{G(x)}\cdot h(x)$ venstre side omskrives

$\left (y\cdot e^{G(x)} \right ){\, }'=e^{G(x)}\cdot h(x)$ som integreret mht x giver

$y\cdot e^{G(x)} =\int e^{G(x)}\cdot h(x)\, \mathrm{d}x$ og dermed

$y =e^{-G(x)}\cdot\int e^{G(x)}\cdot h(x)\, \mathrm{d}x$

Svar #2
04. april 2017 af Miaaaaaaa (Slettet)

Hvor optræder "e"?

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. april 2017 af mathon

…i 5., 6., 7. og 8. linje.

Brugbart svar (0)

Svar #4
06. april 2017 af Number42 (Slettet)

Der mangler en integrationskonstant resultatet skal blive:

$y = e^{-G(x))} C + e^{-G(x)} \int{e^{G(x)} h(x) dx)}$

Hvod C er en integrationskonstant.

Tredie linie efter har man integreres og derved fremkommer en integrationskonstant.

Brugbart svar (0)

Svar #5
06. april 2017 af mathon

$y =e^{-G(x)}\cdot\int e^{G(x)}\cdot h(x)\, \mathrm{d}x$

$y =e^{-G(x)}\cdot\left (\int_0 e^{G(x)}\cdot h(x)\, \mathrm{d}x +C \right )$

$y =C\cdot e^{-G(x)}+e^{-G(x)}\cdot\int_0 e^{G(x)}\cdot h(x)\, \mathrm{d}x$

Skriv et svar til: y^'+g(x)·y=h(x)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.