Matematik

σ-algebra

10. september 2017 af Stats - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har nogen spørgsmål til teorien.

Vi har set i prologue at et rimelig mål skal være i stand til klare disjunkte tællelige delinger af mængder. Derfor, en mål-funktion skal defineres på en familie af mængder, der er stabil uanset om vi gentager nogen af de grundlæggende mængde operationer - ∪,∩, c, - tælleligt mange gange

Definition 3.1
En σ-algebra \mathfrak{A} på en mængde X er en familie af delmængder af X med følgende egenskaber

                                  X∈\mathfrak{A}                         (Σ1)
                          A∈\mathfrak{A} ⇒ Ac\mathfrak{A}                (Σ2)
             (An)n∈N\mathfrak{A} ⇒ ∪n∈NAn\mathfrak{A}      (Σ3)

En mængde A∈\mathfrak{A} siges at være målelig eller \mathfrak{A}-målelig

Egenskaber 3.2 (af en σ-algebra)

(i) ∅∈\mathfrak{A}
Da: ∅ = Xc ∈ \mathfrak{A}  af (Σ1) og (Σ2)

(ii) A,B∈\mathfrak{A} ⇒ A∪B∈\mathfrak{A}
Da: A1 = A, A2 = B, A3=A4= ... = ∅, da er A∪B = ∪n∈N An ∈\mathfrak{A}

(iii) (An)n∈N ⊂ \mathfrak{A} ⇒ ∩n∈N An ∈\mathfrak{A}
Da: Hvis An\mathfrak{A}, da er (An)c\mathfrak{A} (Σ2), siden ∪n∈N (An)c ∈\mathfrak{A} (Σ3) og, igen ved (Σ2), ∩n∈N An = (∪n∈N (An)c)c

De har eksemplerne

• P(X) (power set/produkt mængden) er en σ-algebra (den maksimale σ-algebra i X)

Altså - hvis vi siger at X = {0,1} så har vi
P(X) = { ∅, X, {0}, {1} }

Altså - vi er enige om at \mathfrak{A} er en mængde?

Fra Σ1 har vi
\mathfrak{A}=\{\mathfrak{P}(X)\}

Fra Σ2 har vi, at hver delmængde i \mathfrak{P}(X) også skal være indeholdt
\mathfrak{A}=\{\ \mathfrak{P}(X),\emptyset,\{\emptyset\},\{X\},\{\{0\}\},\{\{1\}\}\ \}

Og Σ3 
\mathfrak{A}=\{\ \mathfrak{P}(X),\emptyset,\{\emptyset\},\{X\},\{\{0\}\},\{\{1\}\},\{\{0\},\{1\}\}\ \}

Altså - sigma algebraen i vores eksempel er derfor den ovenstående???


Brugbart svar (0)

Svar #1
10. september 2017 af fosfor

A er en sigma algebra, som er en mængde jf. den nævnte definition. (mængde/familie, same same)

De sidste 7 linjer giver ingen mening. Hvad er B ??? Hvad for et eksempel??? Er eksemplet X = {0,1}. I så fald kan du ikke sige "sigma algebraen i vores eksempel". Da der findes flere sigma-algebraer for X.

Hvis du med B(X) mener den mindste sigmaalgebra der indeholder burde der stå B({X}) som vil give
A = {X, Ø}


Svar #2
10. september 2017 af Stats

Bogen nævner:
P(X) (power set/produkt mængden) er en σ-algebra (den maksimale σ-algebra i X) + "tekstbox"

Jeg kommer med eksempel for at forstå hvad bogen nævner:
Dette er mit eksempel på, hvis man har en mængde X defineret nedenfor, og hvis man ønsker at finde en sigma algebra på produkt mængden af X

Altså - hvis vi siger at X = {0,1} så har vi
P(X) = { ∅, X, {0}, {1} }

Altså - vi er enige om at \mathfrak{A} er en mængde?

Fra Σ1 har vi
\mathfrak{A}=\{\mathfrak{P}(X)\}

Fra Σ2 har vi, at hver delmængde i \mathfrak{P}(X) også skal være indeholdt
\mathfrak{A}=\{\ \mathfrak{P}(X),\emptyset,\{\emptyset\},\{X\},\{\{0\}\},\{\{1\}\}\ \}

Og Σ3 
\mathfrak{A}=\{\ \mathfrak{P}(X),\emptyset,\{\emptyset\},\{X\},\{\{0\}\},\{\{1\}\},\{\{0\},\{1\}\}\ \}

Altså - sigma algebraen i vores eksempel er derfor den ovenstående???

(undskyld hvis det er uklart - jeg forsøger bare at forstå hvad fanden de mener i bogen - nu har jeg siddet i sindsygt mange dage, og læst det samme lort, og jeg kan stadig ikke fatte det - der er ingen eksempler i bogen - og der er så mange løse forklaringer som peger i den ene retning og den anden retning.)

- - -

Mvh Dennis Svensson


Brugbart svar (0)

Svar #3
10. september 2017 af fosfor

hvilken bog/sider


Svar #4
10. september 2017 af Stats

Titel: Measures, Integrals and Martingales
Forfatter: René L. Schilling
Udgave: Second edition
side 16

- - -

Mvh Dennis Svensson


Brugbart svar (1)

Svar #5
11. september 2017 af fosfor

Der er flere forskellige sigma algebraer for potensmængden P(X) = {{},{0},{1},{0, 1}}

F.eks. σ1 = { P(X) , {} }
Σ2 siger at    A ∈ σ1 ⇒ Ac ∈ σ1    skal gælde, hvilket er tilfældet for σ1, da de to inkluderede elementer er hinandens komplement.

σ2 = { P(X) , {} , {{0},{1}} , {{}, {0, 1}} } er også en sigma algebra for potensmængden, da
1: P(X) er med
2: De fire elementer er to og to hinandens komplementer.
3: Unionen af elementer giver kun elementerne selv


Svar #6
11. september 2017 af Stats

#5
Ja. Jeg fandt ud af, at sigma algebra som sådan ikke er en mængde, men omvendt - mængder kan være en sigma algebra. Altså, på samme måder som en afbildning kan være surjektiv injektiv osv...
Men mange tak for dine svar - de kunne sagtens bruges :-)
- - -

Mvh Dennis Svensson


Brugbart svar (0)

Svar #7
19. september 2017 af LeonhardEuler

#6: En sigma-algebra på X er en familie af delmængder til X (som har nogle bestemte egenskaber), men basalt set er det også en mængde. 


Skriv et svar til: σ-algebra

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.