Matematik
σ-algebra
Jeg har nogen spørgsmål til teorien.
Vi har set i prologue at et rimelig mål skal være i stand til klare disjunkte tællelige delinger af mængder. Derfor, en mål-funktion skal defineres på en familie af mængder, der er stabil uanset om vi gentager nogen af de grundlæggende mængde operationer - ∪,∩, c, - tælleligt mange gange
Definition 3.1
En σ-algebra på en mængde X er en familie af delmængder af X med følgende egenskaberX∈ (Σ1)
A∈ ⇒ Ac∈ (Σ2)
(An)n∈N⊂ ⇒ ∪n∈NAn∈ (Σ3)En mængde A∈ siges at være målelig eller -målelig
Egenskaber 3.2 (af en σ-algebra)
(i) ∅∈
Da: ∅ = Xc ∈ af (Σ1) og (Σ2)(ii) A,B∈ ⇒ A∪B∈
Da: A1 = A, A2 = B, A3=A4= ... = ∅, da er A∪B = ∪n∈N An ∈(iii) (An)n∈N ⊂ ⇒ ∩n∈N An ∈
Da: Hvis An∈, da er (An)c∈ (Σ2), siden ∪n∈N (An)c ∈ (Σ3) og, igen ved (Σ2), ∩n∈N An = (∪n∈N (An)c)c
De har eksemplerne
• P(X) (power set/produkt mængden) er en σ-algebra (den maksimale σ-algebra i X)
Altså - hvis vi siger at X = {0,1} så har vi
P(X) = { ∅, X, {0}, {1} }
Altså - vi er enige om at er en mængde?
Fra Σ1 har vi
Fra Σ2 har vi, at hver delmængde i også skal være indeholdt
Og Σ3
Altså - sigma algebraen i vores eksempel er derfor den ovenstående???
Svar #1
10. september 2017 af fosfor
A er en sigma algebra, som er en mængde jf. den nævnte definition. (mængde/familie, same same)
De sidste 7 linjer giver ingen mening. Hvad er B ??? Hvad for et eksempel??? Er eksemplet X = {0,1}. I så fald kan du ikke sige "sigma algebraen i vores eksempel". Da der findes flere sigma-algebraer for X.
Hvis du med B(X) mener den mindste sigmaalgebra der indeholder burde der stå B({X}) som vil give
A = {X, Ø}
Svar #2
10. september 2017 af Stats
Bogen nævner:
P(X) (power set/produkt mængden) er en σ-algebra (den maksimale σ-algebra i X) + "tekstbox"
Jeg kommer med eksempel for at forstå hvad bogen nævner:
Dette er mit eksempel på, hvis man har en mængde X defineret nedenfor, og hvis man ønsker at finde en sigma algebra på produkt mængden af X
Altså - hvis vi siger at X = {0,1} så har vi
P(X) = { ∅, X, {0}, {1} }
Altså - vi er enige om at er en mængde?
Fra Σ1 har vi
Fra Σ2 har vi, at hver delmængde i også skal være indeholdt
Og Σ3
Altså - sigma algebraen i vores eksempel er derfor den ovenstående???
(undskyld hvis det er uklart - jeg forsøger bare at forstå hvad fanden de mener i bogen - nu har jeg siddet i sindsygt mange dage, og læst det samme lort, og jeg kan stadig ikke fatte det - der er ingen eksempler i bogen - og der er så mange løse forklaringer som peger i den ene retning og den anden retning.)
Mvh Dennis Svensson
Svar #4
10. september 2017 af Stats
Titel: Measures, Integrals and Martingales
Forfatter: René L. Schilling
Udgave: Second edition
side 16
Mvh Dennis Svensson
Svar #5
11. september 2017 af fosfor
Der er flere forskellige sigma algebraer for potensmængden P(X) = {{},{0},{1},{0, 1}}
F.eks. σ1 = { P(X) , {} }
Σ2 siger at A ∈ σ1 ⇒ Ac ∈ σ1 skal gælde, hvilket er tilfældet for σ1, da de to inkluderede elementer er hinandens komplement.
σ2 = { P(X) , {} , {{0},{1}} , {{}, {0, 1}} } er også en sigma algebra for potensmængden, da
1: P(X) er med
2: De fire elementer er to og to hinandens komplementer.
3: Unionen af elementer giver kun elementerne selv
Svar #6
11. september 2017 af Stats
Ja. Jeg fandt ud af, at sigma algebra som sådan ikke er en mængde, men omvendt - mængder kan være en sigma algebra. Altså, på samme måder som en afbildning kan være surjektiv injektiv osv...
Men mange tak for dine svar - de kunne sagtens bruges :-)
Mvh Dennis Svensson
Svar #7
19. september 2017 af LeonhardEuler
#6: En sigma-algebra på X er en familie af delmængder til X (som har nogle bestemte egenskaber), men basalt set er det også en mængde.
Skriv et svar til: σ-algebra
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.