Matematik

Sigma-Algebra

01. oktober 2017 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude.
Jeg prøver at løse en opgave, og det forvirrer mig.
Opgaven vedhæftes som et billede.

I opgave (a) tænker jeg på følgende måde:
$\sigma(\{A,B,C \})$ ER den mindste $\sigma-$ algebra. Den mindste sigma algebra på $\mathbb{R}$ som indholder A,B,C.
Derfor skal der gælde, forening og snittet af to  alle flere mængder skal være i $\sigma(\{A,B,C \})$ .
I øvrigt, skal der gælde også den komplementærmængder forening skal også være i $\sigma(\{A,B,C \})$ .
Mit formål med opgaven er, at tage snittet, forening af to eller af de tre mængder, A,B ,og C, eller komplementærmængden indtil jeg får de tre mængder

$\{ -1, -2, -3 , ...... \} \ \ \{ 0 \} , [0, \ \frac{1}{2}] \cup \{1\}$ .
F. eks.
   $B^c = \left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$ .
$U=B^c \cap C= (....,-4,-3,-2,-1,0]$
$U \cap A= (0)$
$B^c \cup C = (....,-4,-3,-2,-1,0]$
$A \cap B^c = \left[ 0, \frac{1}{2} \right ]$
Jeg kan ikke løse opgaven, og ved ikke hvad skal jeg gøre, at opgaven (a) skal lykkes.

----------------------------------------------------------------------------------------------------

I opgave (b) får jeg at vide, at der findes en interval
$E_1 = (0, \frac{1}{2}] \subseteq \mathbb{R}$ .
Der skal gælde, at $\mathbb{R} \in \mathcal{A}$ , og snittet og forening af $E_1, E_2,E_3,... \in \mathcal{A}$

Jeg gætter, at

$E_1 = (0, \frac{1}{2}] , \ E_2 = (-\infty, 0] \ \text{og} \ E_3 = (\frac{1}{2}, \ \infty)$
Her er jeg helt ussikert om opgaven..

----------------------------------------------

Opgave (c) forstår jeg ikke

---------------------------------------------

Vil nogen derude hjælpe med opgaven?
På forhånd tak

Vedhæftet fil: Opgave.PNG

Brugbart svar (1)

Svar #1
01. oktober 2017 af SådanDa

Jeg vil mene at du er på rette spor i (a). Du har fundet U = {0,-1,-2,...} (husk at () og [] bruges om intervaller)

Men du ville gerne finde {-1, -2, -3,...}. Så kig på A^c=(-∞, 0)∪(1, ∞) så det vil sige at U∩A^c ={-1, -2, -3,...} som ønsket.

mht. [0, 1/2]∪{1} har du allerede fundet [0, 1/2], så hvis vi kan vise at {1} er indeholdt er det nok. prøv at se på A∩B∩C

Brugbart svar (0)

Svar #2
01. oktober 2017 af SådanDa

(b)

$\mathcal{A}$ består af alle reelle delmængder som enten indeholder (0,1/2] eller er disjunkte fra denne mængde.Det vil sige at de tre mængder du opskriver alle er indeholdt i $\mathcal{A}$ men den indeholder også mange andre mængder. Vi vil gerne vise at det er en sigma-algebra på de relle tal, altså skal vi vise:

$\mathbb{R}\in\mathcal{A},\ E\in \mathcal{A} \Rightarrow E^c \in \mathcal{A},\ E_1,E_2,E_3,\dots\in\mathcal{A}\Rightarrow \bigcup_{n=0}^\infty E_n \in \mathcal{A}$

$\mathbb{R}$ er i mængden da intervallet (0, 1/2] specielt er en delmængde heraf.

For en vilkårlig mængde $E\in\mathcal{A}$ gælder det enten at

1: $(0,\frac{1}{2}]\in E$ eller

2: $(0,\frac{1}{2}]\cap E = \emptyset$

I det første tilfælde har vi $(0,\frac{1}{2}]\cap E^c = \emptyset \Rightarrow E^c \in \mathcal{A}$ altså da E indeholder intervallet er komplementet disjunkt fra intervallet, og derfor igen med i mængden $\mathcal{A}$

Ligeledes i det andet tilfælde, da E er disjunkt fra intervallet indeholder komplementet det, og derfor er komplementet også i mængden $\mathcal{A}$

Prøv at argumentere for at en tællelig forening af mængder indeholdt i $\mathcal{A}$ igen er indeholdt i $\mathcal{A}$

Svar #3
01. oktober 2017 af Rossa

Tak for (a). Nu er det lykket.

Om (b)

Jeg vælger tre disjunkte mængder, der dækker alle de reelle tal, og komplementet af den ene mængde er de andre to mængder, og de er indholdt i $\mathcal{A}$ .

Jeg forstår på den måde som om du kigger bort fra andre mængder, du kigger kun på intervallet
$(0, \frac{1}{2})$ .
Du skriver, at der findes mange andre delmængde indholdt i $\mathcal{A}$ , men tænker kun på de to eksampel (1:) og (2:) du nævner.
Ovenpå nævner du:
$\mathbb{R}\in\mathcal{A},\ E\in \mathcal{A} \Rightarrow E^c \in \mathcal{A},\ E_1,E_2,E_3,\dots\in\mathcal{A}\Rightarrow \bigcup_{n=0}^\infty E_n \in \mathcal{A}$
Jeg kan ikke se, hvad er din E_1 eller E_2 ......

Brugbart svar (0)

Svar #4
01. oktober 2017 af SådanDa

Okay, min pointe er at for at en delmængde $E\subseteq \mathbb{R}$ er indeholdt i $\mathcal{A}$ skal der enten gælde:

$(0,\frac{1}{2}]\in E$ (At delmængden indeholder intervallet

eller $(0,\frac{1}{2}]\cap E = \emptyset$ (At delmængden er disjunkt fra intevallet)

$\mathcal{A}$ består altså af alle delmængder $E\subseteq \mathbb{R}$ som opfylder en af disse betingelser.

Altså specielt har vi at $(0,\frac{1}{2}] \in \mathbb{R}$ så de reelle tal opfylder betingelse 1 og derfor er $\mathbb{R} \in \mathcal{A}$

Brugbart svar (1)

Svar #5
02. oktober 2017 af SådanDa

Undskyld, betingelse 1 skal selvfølgelig hedde $(0,\frac{1}{2}] \subseteq E$ i stedet. Så i #2 bruger jeg altså at et hvilket som helst $E\in \mathcal{A}$ (altså ser vi på dem alle sammen) opfylder enten betingelse 1 eller 2.

Så siger vi for en vilkårlig mængde $E_1\in \mathcal{A}$ vil vi vise at også $E_1^c\in \mathcal{A}$ .

Da vi ved at kun en af betingelserne gælder, tænker vi. Hvis betingelse 1 gælder, hvad så?

Antag $(0,\frac{1}{2}] \subseteq E_1$

da har vi at $(0,\frac{1}{2}] \cap E_1^c = \emptyset$ (overvej det)

Men dette var jo lige nøjagtig den anden betingelse. Så derfor må $E_1^c \in \mathcal{A}$

. Så skal man også huske at prøve hvor det er betingelse 2 der bliver antaget. Jeg håber det giver lidt mere mening?

Skriv et svar til: Sigma-Algebra

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.