Matematik
Aritaritmetikkens fundamentalsætning
Her derude.
Er ret forvirret over beviset aritmetikkens fundamentalsætning.
Det som forvirrer mig er eksistensen af aritmetikkens fundamentalsætning.
Når jeg læser beviset, så forstår jeg ikke hvorfor antager man de antagelser.
Definitionen:
Lad a ∈ N. En primopløsning af a er et produkt
a = p1n1 * p2n2 *.........pknk
hvor p1 < · · · < pk er en strengt voksende følge af k ≥ 0 primtal,
og n1, . . . , nk ∈ N.
Ethvert naturligt tal har en entydig primopløsning.
Jeg forstår ikke hvorfor starter de med:
"Hvis der er et naturligt tal, der ikke har en primopløsning, så findes et mindste sådant tal, n ∈ N."
De forsætter med:
Da n > 1 har n en primdivisor osv.
Kan nogen beskrive det bevis, og hvad vil de bevise eller modbevise. Det lyder noget sludder til mig,
og det må det ikke.
Beviset er vedhæftet som et billed.
På forhånd tak
Svar #1
14. oktober 2017 af VandalS
De benytter, at n er det mindste naturlige tal uden en primopløsning, til at konkludere at tallet q har en primopløsning, da det er strengt mindre end n. Ved at gange p på q's primopløsning får de dermed en primopløsning for n, hvilket er i modstrid med at der findes et naturligt tal uden en primopløsning.
Svar #2
14. oktober 2017 af Rossa
Jo, er ved at forstå, men
Hvis: n er det mindste naturlige tal uden en primopløsning, og n >1 og så må n=2.
Når man siger det mindste naturlige tal uden en primopløsning, så forstås det et tal, som ikke nødvendigvis er 2?
Svar #3
14. oktober 2017 af VandalS
Du ved ikke, hvad tallets værdi er. De siger bare, at hvis der findes tal uden en primopløsning, så er der et af de udvalgte tal, der er det mindste ud af dem alle.
Svar #5
15. oktober 2017 af Soeffi
For mig at se giver det, der står, ikke meget mening.
1) Hvad prøver man at bevise? "Bevis for eksistens af primopløsning" kan betyde: a) der findes mindst et tal, der kan skrives som et produkt af primtal. b) alle naturlige tal kan skrives som et produkt af primtal.
2) "...idet 1 pr. definintion har en ...primopløsning". Pr. definintion er 1 ikke et primtal.
3) "Da n > 1, har n en primdivisor." Cirkelbevis! Det er jo det, man skal vise.
Svar #6
15. oktober 2017 af fosfor
1) Der menes: eksistens af primopløsning (for alle n∈N)
2) 1 har en degeneret primopløsning (det tomme produkt):
3) prim betyder at 1 og n er eneste divisorer. Ergo gælder enten
n er prim => n er primdivisor
n er ikke prim => der er en divisor 1 < d < n, og følgelig en primdivisor 1 < p ≤ d,
da d < n, og n er valgt som det laveste naturlige tal uden primopløsning
Svar #7
15. oktober 2017 af Soeffi
#6 3) prim betyder at 1 og n er eneste divisorer. Ergo gælder entenn er prim => n er primdivisor
n er ikke prim => der er en divisor 1 < d < n, og følgelig en primdivisor 1 < p ≤ d,
da d < n, og n er valgt som det laveste naturlige tal uden primopløsning
I så fald har man ikke bevist noget, man siger bare noget man vidste i forvejen!
Svar #8
16. oktober 2017 af VandalS
#7
Ikke helt. De benytter eksistensen af en primdivisor til at vise, at der også eksisterer en primopløsning, som ellers lader til at være en stærkere egenskab (eksistensen af en primopløsning implicerer jo trivielt eksistensen af en primdivisor).
Jeg formoder, at der andetsteds i #0's noter er givet et bevis for eksistensen af en primdivisor for naturlige tal større end 1, så beviset fremlagt i #0 giver mening.
Skriv et svar til: Aritaritmetikkens fundamentalsætning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.