Matematik

Differentialligning

16. oktober 2017 af Makrofagen - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg skal løse differentialligningen:

y'(t) = e^10*y(t)* sin(7t)

Umiddelbart tænker jeg, at den kan løses ved separation af variable, hvor f(t) = sin(7t) og g(y) = e^10y. Er dog ikke sikker på, at det er rigtigt. Nogen, der kan hjælpe mig videre?

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. oktober 2017 af fosfor (Slettet)

Divider med eksponentialfaktoren på begge sider, og integrer:
$\\y'(t) = e^{10y(t)} \sin(7t) \\y'(t) e^{-10y(t)}= \sin(7t) \\\int y'(t) e^{-10y(t)}dt= \int \sin(7t)dt$

Brug substitution på venstresiden u = -10y(t), hvormed
du/dt = -10y'(t) og altså du = -10y'(t) dt

$\\\frac{-1}{10}\int e^udu= -\cos(7t)+k$

Svar #2
16. oktober 2017 af Makrofagen

Det var også det, jeg kom frem til, bortset fra, at stamfunktionen til sin(7t) er -cos(7t)/7 + k. Sidder bare og fedter med at integrere e^-10y(t).

Svar #3
16. oktober 2017 af Makrofagen

Ah, kan se, at du opdaterede dit svar. Ser lige lidt nærmere på det.

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. oktober 2017 af mathon

$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=e^{10y} \cdot \sin(7t)$

$\small e^{-10y} \cdot\mathrm{d} y= \sin(7t)\mathrm{d} t$

$\small \int e^{-10y} \cdot\mathrm{d} y=\int \sin(7t)\mathrm{d} t$

$\small -\tfrac{1}{10} e^{-10y} =-\tfrac{1}{7} \cos(7t)\mathrm{d} t+k_1$

$\small e^{-10y} =\tfrac{10}{7} \cos(7t)\mathrm{d} t+k$

$\small -10y =\ln\left (\tfrac{10}{7} \cos(7t)\mathrm{d} t+k \right )$

$\small y =-\frac{\ln\left (\tfrac{10}{7} \cos(7t)\mathrm{d} t+k \right )}{10}$

Svar #5
16. oktober 2017 af Makrofagen

Ja, selvfølgelig, havde stirret mig fuldstændig blind på det! Tak for hjælpen. Forstår dog ikke Maples måde at skrive det på (se fil); hvorfor -10 i tælleren?

Vedhæftet fil:Maple.png

Brugbart svar (0)

Svar #6
16. oktober 2017 af mathon

$\small \frac{1}{e^{10y}}=e^{-10y}$

Svar #7
16. oktober 2017 af Makrofagen

Ja, det ved jeg, men hvorfor står der (10*cos(7t)/7) - 10?

Brugbart svar (0)

Svar #8
16. oktober 2017 af fosfor (Slettet)

når _C1 og k er vilkårlige konstanter kan samtlige stamfunktioner til f udtrykkes på begge følgende måder:
F(x) - 10_C1
F(x) + k

Sammenhængen mellem mathons k og maple valg af konstant er k = -10_C1

Svar #9
16. oktober 2017 af Makrofagen

Så giver det mening. Tak.

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.