Matematik

Differentialligninger

28. oktober 2017 af SSvestergaard (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej. Er der nogen som evt kan hjælpe mig med at løse denne opgave:

Bestem den løsning g(x) til y'=(-1/x)y+(1/1+x^2), x>0, som opfylder g(1)=ln(2).

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. oktober 2017 af peter lind

Brug panserformlen. y' = a(x)*y +b(x) Hvis A er en stamfunktion til a er løsningen y=e^A(x)∫e^-A(x)*b(x)dx Du kan også bruge et CAS værktøj hvis det er tilladt

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. oktober 2017 af mathon

$\small y{\, }'+\tfrac{1}{x}y=\tfrac{1}{1+x^2}$

ved brug af panserformlen
har man:
$\small y=-x\int x\cdot \tfrac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$
som med
$\small u=1+x^2$ og dermed $\small x\mathrm{d}x=\tfrac{1}{2}\mathrm{d}u$
giver:
$\small g(x)=y=-x\int \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{u}\mathrm{d}u=-x\cdot \left ( \tfrac{1}{2}\ln(u) +C_1\right )$

$\small g(x)=Cx-\tfrac{x}{2}\ln(1+x^2)$
samt
$\small g(1)=C\cdot 1-\tfrac{1}{2}\ln(1+1^2)=\ln(2)$

$\small g(1)=C-\tfrac{1}{2}\ln(2)=\ln(2)$

$\small C-\tfrac{3}{2}\ln(2)$

dvs
$\small g(x)=\tfrac{3}{2}\ln(2)x-\tfrac{x}{2}\ln(1+x^2)$

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. oktober 2017 af mathon

korrektion:
$\small \small C=\tfrac{3}{2}\ln(2)$

Svar #4
28. oktober 2017 af SSvestergaard (Slettet)

Der står bare i min facit liste det skal give ln(2(x^2+1))/2x :/

Brugbart svar (0)

Svar #5
28. oktober 2017 af mathon

korrektion₂:

$\small y{\, }'+\tfrac{1}{x}y=\tfrac{1}{1+x^2}$

ved brug af panserformlen
har man:
$\small \small y=\frac{1}{x}\int x\cdot \tfrac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$
som med
$\small u=1+x^2$ og dermed $\small x\mathrm{d}x=\tfrac{1}{2}\mathrm{d}u$
giver:
$\small g(x)=y=\frac{1}{x}\int \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{u}\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\cdot \left ( \tfrac{1}{2}\ln(u) +C_1\right )$

$\small g(x)=\tfrac{C}{2x}-\tfrac{1}{2x}\ln(x^2+1)$

$\small g(x)=\tfrac{C-\ln(x^2+1)}{2x}$
samt
$\small g(1)=\tfrac{C-\ln(1^2+1)}{2\cdot 1}=\ln(2)$

$\small \small g(1)=\tfrac{C-\ln(2)}{2}=\ln(2)$

$\small C=3\ln(2)$

dvs
$\small g(x)=\tfrac{3\ln(2)-\ln(x^2+1)}{2x}$

Svar #6
28. oktober 2017 af SSvestergaard (Slettet)

Forstår bare ikke hvor 3 kommer fra

Brugbart svar (0)

Svar #7
28. oktober 2017 af fosfor

C = 2ln(2) + ln(2) = 3 ln(2)

Skriv et svar til: Differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.