Matematik

mat a

21. april 2024 af Daviddoco (Slettet) - Niveau: A-niveau

løs ligning

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2024-04-21 kl. 18.52.10.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. april 2024 af M2023

#0. Billedet.

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. april 2024 af Eksperimentalfysikeren

Start med at opløfte til anden potens på begge sider af lighedstegnet. Du får så en ligning med x og kvadratrod(x) og et tal. Det er en andengradsligning med kvadratrod(x) som ukendt. Løs ligningen og uddrag kvadratroden af hver rod. Til sidst indsætter du resultatet i den oprindelige ligning og se, om det stemmer. Det er muligt, at kvadratrod(x) er mindre end 7. I så fald vil venstresiden blive negativ, og så er der tale om en falsk rod.

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. april 2024 af ringstedLC

$\begin{align*} \sqrt{x}-7 &= \sqrt{x-7} &,\; \sqrt{x}-7 &\geq 0 &&\wedge\quad x-7 \geq 0 \\ && &\Rightarrow \sqrt{x} &&\geq\;\; 7 \\ \Bigl(\sqrt{x}-7\Bigr)^2 &= \Bigl(\sqrt{x-7}\Bigr)^2 \\ \sqrt{x} &= ... \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
21. april 2024 af SuneChr

Lad venstresiden være funktionen

$y=\sqrt{x}-7$
hvor grafen for denne parallelforskydes efter vektor $\binom{7}{7}$ .
Afbildningen fører da y over i

$y-7=\sqrt{x-7}-7$ $\, \, \Rightarrow y=\sqrt{x-7}$
De to funktioner er hinandens parallelforskudte og deres respektive punktmængder derfor disjunkte.
Deres respektive punktmængders fællesmængde tom. Løsningsmængden = ∅

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. april 2024 af SuneChr

Lad os se på ligningens forudsætninger:
Højresiden skal være ikke-negativ, og det skal venstresiden også.
Radikanden på venstre side skal også være ikke-negativ. Det samme gælder for højre side.
Alt i alt har vi:
$\sqrt{x}-7\geq 0\, \, \wedge\, \, x\geq 0\, \,\wedge \, x-7\geq 0 \, \Rightarrow \, x\geq 49$ (skal være ⇔)
Endvidere gælder:
∀ x ≥ 49 : $\sqrt{x}-7< \sqrt{x-7}$ ⇔ $\sqrt{x}< 7+\sqrt{x-7}$ ⇔ $x< 14\left ( 3+\sqrt{x-7} \right )+x$
Da parentesen i sidste ulighed er positiv, får vi en ulighed, der ikke er opfyldt for noget x under forudsætningerne.

Brugbart svar (0)

Svar #6
22. april 2024 af M2023

#0. Forslag:

$\sqrt{x}-7=\sqrt{x-7}\wedge x\geq 0\wedge \sqrt{x}\geq 7\wedge x\geq 7\Leftrightarrow$

$\left ( \sqrt{x}-7 \right )^2=\left ( \sqrt{x-7} \right )^2\;\wedge x\geq 0\;\wedge x\geq 49\;\wedge x\geq 7\Leftrightarrow$

$x-14\sqrt{x}+49=x-7\;\wedge \; x\geq 49\Leftrightarrow$

$x=16\;\wedge \; x\geq 49$

Da dette er en modstrid, så er der ingen løsning!

Man kan også sige:

$\sqrt{x}-7=\sqrt{x-7}\Rightarrow$

$\left ( \sqrt{x}-7 \right )^2=\left ( \sqrt{x-7} \right )^2\Rightarrow$

$x-14\sqrt{x}+49=x-7\Leftrightarrow$

$x=16$

Det vil sige, at hvis der er en løsning til ligningen, så er denne x = 16, og som en logisk følge heraf: Hvis x = 16 ikke er en løsning, så er der ikke nogen løsning. Ved at gøre prøve, så får man:

$\sqrt{16}-7\;||\;\sqrt{16-7}$

$4-7\;||\;\sqrt{9}$

$-3\;||\;3$

Da prøven ikke stemmer, så er x = 16 ikke er en løsning, og dermed er der ikke nogen løsning.

Brugbart svar (1)

Svar #7
22. april 2024 af SuneChr

Til Daviddoco som lod sig slette:
Dårlig stil at lade sig slette, efter man, uden nogen kommentarer eller respons, har opnået dét, man skulle.

Brugbart svar (0)

Svar #8
22. april 2024 af ringstedLC

#6 "Forslag": Dét var i den retning jeg tænkte i #3. Men jeg synes, at du går længere end nødvendigt:

$\begin{align*} \sqrt{x}-7 &= \sqrt{x-7} &&,\; \sqrt{x}-7 &&\geq\;\; 0\;,\; \sqrt{x-7}\;\; \geq\;\; 0 \\ && &\Rightarrow\quad \sqrt{x}\! &&\geq\;\; 7 \\ \Bigl(\sqrt{x}-7\Bigr)^2 &= \Bigl(\sqrt{x-7}\Bigr)^2 \\ x+49-14\sqrt{x} &= x-7 \\ \sqrt{x} &= 4 && \Rightarrow\qquad x &&\in\;\; \textup{\O}\end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
23. april 2024 af M2023

#8. Det virker rodet! Kan du forklare helt præcist, hvilken bedre ide, som du har? Jeg tror, at du når frem til det samme som jeg!

Brugbart svar (0)

Svar #10
23. april 2024 af ringstedLC

#9 Det gør jeg nemlig!

Venstresiden er kvadratroden af højresiden og skal derfor være positiv. Og derfor er √x ≥ 7. Mere "gider" jeg ikke at konkludere indledningsvis, da kvadreringen kun giver løsningen √x = 4.

Skriv et svar til: mat a

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.