Matematik

Logistisk differentialligninger

23. november 2017 af marie9999 (Slettet) - Niveau: A-niveau

bestem for diff. ligningen g'/g =10-2g den løsning g(x), for hvilket det gælder, at g(0)=4.

please hjælp!!

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. november 2017 af mathon

$\small \small \frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}=2\cdot g\cdot (5-g)$
^{med løsningen}
$\small g(x)=\frac{5}{1+Ce^{-10x}}$

Svar #2
23. november 2017 af marie9999 (Slettet)

kan du uddybe? forstår ikke hvordan du kommer frem til følgende

Brugbart svar (0)

Svar #3
23. november 2017 af mathon

basisviden på A-niveau
er:
   ^{differentialligningen}   $\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=a\cdot y\cdot (M-y)\; \; \; \; \; a>0\; \;\wedge0<y<M \; \;$
   ^{har løsningen}
   $\small \small \small y=f(x)=\frac{M}{1+Ce^{-aMx}}$

Svar #4
23. november 2017 af marie9999 (Slettet)

men hvor kommer 5 fra?

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. november 2017 af mathon

$\small 10-2g=2(5-g)$

Svar #6
23. november 2017 af marie9999 (Slettet)

tak for hjælpen, men forstår desværre intet af det!

Brugbart svar (0)

Svar #7
24. november 2017 af mathon

detaljer:
   $\small y{\,}'=a\cdot y\cdot (M-y)\; \; \; \; \; a>0\; \;\wedge \; \; 0<y<M$
her sættes
   $\small y(x)=\tfrac{1}{u(x)}$
hvoraf:
   $\small \left (\tfrac{1}{u} \right ){}'=a\cdot \tfrac{1}{u}\cdot \left ( M-\tfrac{1}{u} \right )$

$\small -\tfrac{1}{u^2}\cdot u{}'=a\cdot \tfrac{1}{u}\cdot \left ( M-\tfrac{1}{u} \right )$

$\small \small - u{}'=a\cdot \left ( Mu-1 \right )$

$\small u{}'=a-aMu$

$\small u{}'+aMu=a$ som løst med panserformlen
giver:
$\small u=e^{-aMx}\cdot \int a\cdot e^{aMx}\, \mathrm{d}x$

$\small u=e^{-aMx}\cdot \left ( \tfrac{a}{aM}\cdot e^{aMx}+C_1 \right )$

$\small u=e^{-aMx}\cdot \left ( \tfrac{1}{M}\cdot e^{aMx}+C_1 \right )$

$\small u=\tfrac{1}{M}+C_1e^{-aMx}$

$\small u=\tfrac{1+Ce^{-aMx}}{M}$ $\small \small C=M\cdot C_1$

$\small \frac{1}{u}=\frac{M}{1+Ce^{-aMx}}$

$\small y=\frac{M}{1+Ce^{-aMx}}$

Skriv et svar til: Logistisk differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.