Permutation i S_7

Hvis n = 1, har du σ = (1 4 2 5)(6 3 7) = (1 5)(1 2)(1 4)(6 7)(6 3). Da den kan skrives som et produktaf et ulige antal af transpositioner, må sgn(σ) = -1.

Hvis n = 2, har du σ² = (1 2)(3 6 7)(4 5) = (1 2)(3 7)(3 6)(4 5). Da den kan skrives som et produktaf et lige antal af transpositioner, må sgn(σ²) = 1. Alternativt ^(*) har man sgn(σ²) = sgn(σ)sgn(σ) = (-1)(-1) = 1.

^(*) Hvis σ₁, σ₂ er to permutationer på en endelig mængde Ω, så er sgn(σ₁σ₂) = sgn(σ₁)sgn(σ₂). Bevis det, hvis du ikke har haft om det. Dernæst bevis ved induktion, at hvis σ₁, σ₂, ..., σ_n er n permutationer på en endelig mængde Ω, så er sgn(σ₁σ₂···σ_n) = sgn(σ₁)sgn(σ₂)···sgn(σ_n). Du kan benytte den til at svare på din opgave, hvor man sætter σ = σ_i for alle i.