Matematik

IntegralTeori.

03. januar 2018 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude.

Jeg prøver, at løse en opgave, åbenbart kan jeg ikke.
Nu har jeg løsning til opgaven, men det hjælper heller ikke.
Det er håbløst når jeg har løsning frem, og ved godt hvilket sætning skal bruges.

Jeg vil se hvis nogen derude har lyst til at hjælpe med at forstå opgaven?
Det er opgave 2.
Herunder vedhæfter jeg opgaven med løsning.
Sætning skives:

Theorem 12.4

Let $\nu = f \cdot m_k$ be a measure on $( \mathbb{R}^{\text{k}},\mathbb{B}_{\text{k}} )$ , and let $h: \mathbb{R^{\text{k}}} \to \mathbb{R^{\text{k}}}$ be a Borel measurable map.
Let $U_1, ......,U_n$ be disjoint open sets, and let $V_1, ......,V_n$ be open sets.
Assume that :

1) $h$ maps $U_i$ bijectively to $V_i$ for $i = 1,2,....,n$
2) $h_j^{-1}$ is $C^{(1)}$ map on $V_i$
3) $\nu \left( \left( \bigcup_{i=1}^{n} U_i \right )^c \right) =0$

Then it holds that
$h(\nu)= \hat f \cdot m_k$
where
$\hat f(y)= \sum_{i=1}^{n}1_{V_i}(y) \cdot f(h_i^{-1}(y)) \cdot |det D(h_i^{-1}(y))|$

Første opgave:
Hvorfor er $h$ er en bijektiv funktion med C⁽¹⁾ -invers?
Er det fordi at $h$ er komponentvis lineært?

Hvordan bestemer "Professoren"
$h^{-1}(u,v) = \frac{1}{2} (u+v,u-v )$
og $x = \frac{1}{2} (u- v)$ og $y= \frac{1}{2} (u+ v)$
Jeg ser frem til at høre fra nogen derude.
På forhånd tak

Vedhæftet fil: opgaven.pdf

Brugbart svar (1)

Svar #1
04. januar 2018 af AskTheAfghan

Da h er bijektiv, har den en invers funktion. Der ses, at

$\begin{align*} h(x,y)=(u,v)&\iff x+y=u\wedge x-y=v\\ &\iff x=\frac{1}{2}(u+v)\wedge y=\frac{1}{2}(u-v)\\ &\iff h^{-1}(u,v)=\left ( \frac{1}{2}(u+v),\frac{1}{2}(u-v) \right ) \end{align*}$

så må h^-1 tilhøre C¹(R²), dvs. h^-1 må være kontinuert og differentiabel på R². Da man har vist det, kan man derfor sige, at h er en bijektiv funktion med C¹-invers h^-1 givet ved h^-1(u,v) = (1/2)(u + v, u - v) på R².

Skriv et svar til: IntegralTeori.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.