Matematik

Hjælp til borel-mængde

15. januar 2018 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej Derude.
Jeg har skal regne en opgave, som jeg ikke kan løse.
Vil nogen derude hjælpe med opgaven?

Opgaven lyder:
Sæt
$\mathcal{G} = \{ [-s,t) | s,t>0 \}$

1. Gør rede for, at $\sigma$ -algebraen $\sigma(\mathcal{G})$ er indeholdt i Borel- $\sigma$ -algebraen $\mathcal{B(\mathbb{R})}$ .

2. Vis at hver af de tre mængder

$[-5 , -1)$ $[3 , 8) \ \ \ (-5 , 8]$

tilhører σ-algebraen $\sigma(\mathcal{G})$ .
...
Hvad ved jeg?
Om 1.
Jeg ved pr. definition, at alle halvåben delmængde er Borel- sigma algebra, men jeg ved ikke hvad skal det forståes mere end det.

Om 2.
Jeg ved, at man skal lave delmængder ud fra definitionen ovenpå, og under snit, komplementærmængder og forening af delmængder skal man komme op til de tre mængder eller intervaller.

Jeg starter med $A = \cup_{s,t=1}^{8}=[-8, 8)$
Nu vil jeg finde en anden mængde, som trukket fra A giver en af de mængde derope, men desværre kan jeg ikke.

Vil nogen derude prøve at hjælpe med opgaven?
På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #1
16. januar 2018 af fosfor

1) Den er indeholdt hvis alle generatorelementerne kan skrive som tilladte transformationer af borel-sigmaalgebraens generatorelementer. Tælleligt snit er tilladt:
$[-s,t)=\cap_{n=1}^\infty(-s-n^{-1},t)$
(antaget at åbne intervaller er brugt i boreldefinitionen)

2) Brug tilladte transformationer af generatorelementerne. F.eks
$\\\ [-5,1)\cap[-1,1)^c= \\\ [-5,1)\cap((\infty,-1)\cup[1,\infty))= \\\ [-5,-1)$

Svar #2
16. januar 2018 af Rossa

Du starter med [-5, 1] f. Eks. Er s,t et fri vælg, med andre ord kan man vælge alle s,t som er større
End 0 inkluderende uendelige?

Brugbart svar (1)

Svar #3
16. januar 2018 af fosfor

s>0 of t>0 inkluderer ikke uendelig

Svar #4
16. januar 2018 af Rossa

Nu er med på en måde, men kan vi vælge hvilkårligt (s,t)?

Svar #5
16. januar 2018 af Rossa

Baseret på dit eksempel, er jeg færdigt med de to andre eksempler på spørgsmål 2.
Tak for det.

Jeg er stadigt i tvivle om spørgsmål 1.
Din forklaring er god, men det føles som om det skal skrives mere.

Jeg har fundet i bogen jeg bruger (af Ernst Hansen):

The Borel algebra on $\mathbb{R}$
The system $\mathbb{O}$ of all open subsets of $\mathbb{R}$ plays text....

Definition:
The Borel algebra $\mathbb{B}$ on $\mathbb{R}$ is the $\sigma-$ algebra generated by the open sets.
Symbollically we write $\mathbb{B}=\sigma(\mathbb{O})$ .

Kan det her sætning spørgsmål 1 , at $\sigma(\mathcal{G}) \subset \mathcal{B}(\mathbb{R})?$

Skriv et svar til: Hjælp til borel-mængde

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.