Matematik

Hjælp til en matematikopgave

28. januar 2018 af annahansen2 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej

Er der nogle, der kan hjælpe mig med opgaven på vedhæftet billede?

Jeg har beregnet opgave a, men jeg har brug for hjælp til b og c.

På forhånd tak

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2018-01-28 kl. 15.24.29.png

Svar #1
28. januar 2018 af annahansen2 (Slettet)

Facit til opgaverne er

b) $\alpha:3x+4y=20$

c) $68,9$

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. januar 2018 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. januar 2018 af mathon

b)
$\small \small \textup{Beregn den spidse vinkel }\varphi \textup{ mellem linjens retningsvektor og planens normalvektor.}$

$\small \small \small \textup{Vinklen v mellem linje og plan er s\aa \ }\mathbf{v}=90^\circ-\varphi.$

Svar #4
28. januar 2018 af annahansen2 (Slettet)

#3 Jeg kom til at forvekse den med en anden opgave. Så jeg vil spørge hvordan løser jeg opgave a?

Det i #1 er forkert. Det rigtige facit er:

$a) (-7,2,5)$

$b) 38,2$

$c) 14x+39y+4z=0$

Kan du hjælpe mig igang ved at skrive de formler jeg skal bruge til a, b og c?

Jeg forstår nemlig ikke, hvordan jeg bestemmer linjens retningsvektor, altså hvilken formel skal jeg benytte?

På forhånd tak.

Brugbart svar (0)

Svar #5
28. januar 2018 af ringstedLC

Linjens parameterfremstilling giver dig retningsvektoren!!!

Brugbart svar (1)

Svar #6
28. januar 2018 af mathon

a)
$\small \textup{sk\ae ring kr\ae ver:}$

$\small x-5y+4z-3=0$
   $\small \textup{og}$
$\small x=-2-5t$
      $\small y=2t$
      $\small z=7-2t$

Svar #7
28. januar 2018 af annahansen2 (Slettet)

#6 Jeg ved virkelig ikke hvad jeg gør forkert, men jeg får et forkert facit.

$\frac{28}{8,83176*7,07107}=0,4483588$

$cos^-^1(0,4483588)=63,36157$

Facit skulle gerne give $38,2$

Hvad gør jeg forkert?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #8
28. januar 2018 af mathon

a)
$\small \textup{sk\ae ring kr\ae ver:}$

$\small \small x-5y+4z-3=0$
   $\small \textup{og}$
$\small x=-2-5t$
      $\small y=2t$
      $\small z=7-2t$
   $\small \textup{dvs}$
$\small -2-5t-5\cdot \left (2t \right )+4\cdot \left (7-2t \right )-3=0$

$\small 23-23t=0$

$\small t=1$

$\small \textup{og dermed}$
$\small \textup{sk\ae ringspunktet:}$

$\small S=\left ( -2-5;2;7-2 \right )=\left ( -7;2;5 \right )$

Svar #9
28. januar 2018 af annahansen2 (Slettet)

#8 Det er jeg med på. Jeg har regnet opgave a, men kan svare på mit spørgsmål i #7?

Jeg er i tvivl om hvordan jeg regner opgave b rigtigt ud.

Brugbart svar (1)

Svar #10
28. januar 2018 af mathon

b)
$\small \alpha\; 's$ $\small \textup{ normalvektor er }$
$\small \overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} 1\\-5 \\ 4 \end{pmatrix}$ $\small \left | \overrightarrow{n} \right |=\sqrt{42}$

$\small l\; 's$ $\small \textup{ retningsvektor er }$
$\small \overrightarrow{r}=\begin{pmatrix} -5\\2 \\ -2 \end{pmatrix}$ $\small \left | \overrightarrow{r} \right |=\sqrt{33}$

$\small \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{r} =-23$

$\small \cos(\varphi_{spids} )=\frac{ \left |\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{r} \right | }{\left | \overrightarrow{n} \right |\cdot \left | \overrightarrow{r} \right |}=\frac{23}{\sqrt{1386}}=0{.}617798$

$\small \varphi_{spids} =\cos^{-1}\left (0{.}617798 \right )=51{.}84^\circ$

$\small \small v=90^\circ-\varphi _{spids}=90^\circ -51{.}84^\circ=38{.}16^\circ$

Svar #11
28. januar 2018 af annahansen2 (Slettet)

#10 tak. Jeg har et sidste spørgsmål til opgave c.
Skal jeg i opgave c bruge planens ligning og indsætte plan B det indeholde l, men hvad er koordinatsystemets begyndelsespunkt 0?

Brugbart svar (1)

Svar #12
28. januar 2018 af ringstedLC

Der står ikke 0 (nul), men ο (omikron), der desværre ikke kan indsættes "med stort" på SP. Det er den normale betegnelse for begyndelspunktet (0,0,0) i koordinatsystemet.

Jeg tror, at du mener det rigtigt. Du har retningsvektoren for l. Den ligger i plan β og da planen indeholder (0,0,0) og dit skæringspunkt fra a) kan du lave en retningsvektor mere. Når du beregner krydsproduktet af dem, har du normalvektoren for planen.

Svar #13
28. januar 2018 af annahansen2 (Slettet)

#12 Det forstår jeg ikke helt.

Jeg har

Skæringspunkt mellem l og a $(-7,2,5)$

Retningsvektoren for l $(-5,2,-2)$

Så forstår jeg ikke hvordan kan jeg lave en retningsvektor mere? Jeg kan godt finde ud af at tage krydsproduktet, men jeg har svært ved at se hvad der er hvad og hvad jeg præcis skal.

Kan du forklare det måske i flere punkter?

Undskyld besværelsen, men jeg bliver nødt til at forstå det.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #14
29. januar 2018 af mathon

c)
$\small \textup{At }\beta \textup{ indeholder \textit{\textbf{l}} betyder, at}$
$\small \textup{punktet Q(-2,0,7) og retningsvektor }\overrightarrow{r}=\begin{pmatrix} -5\\2 \\ -2 \end{pmatrix}\textup{ ligger i planen.}$

$\small \textup{Da \textbf{\textit{O}}(0,0,0) ogs\aa \ ligger i planen, ligger vektor }\overrightarrow{OQ}\textup{ i planen,}$
$\small \textup{derfor har }\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{OQ}\textup{ som normalvektor.}$ $\small \textup{derfor har }\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{OQ}\textup{ som normalvektor:}$

$\small \overrightarrow{n}_\beta =\begin{pmatrix} -5\\2 \\ -2 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} -2\\0 \\ 7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\cdot 7-(-2)\cdot 0\\(-2)(-2) -(-5)\cdot 7 \\(-5)\cdot 0-2\cdot (-2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 14\\39 \\ 4 \end{pmatrix}$

$\small \textup{N\aa r er vilk\aa rligt punkt i }\beta \textup{ kaldes P(x,y,z),}$
$\small \small \textup{er }\beta\, 's\textup{ ligning med } n_\beta \textup{ anbragt i \textbf{\textit{O}} - som det nemmeste:}$

$\small \beta \textup{:}\; \; n_\beta \cdot \overrightarrow{OP}=0$

$\small \begin{pmatrix} 14\\39 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}=0$

$\small 14x+39y+4z=0$

…
$\small \textup{N\aa r er vilk\aa rligt punkt i }\beta \textup{ kaldes P(x,y,z),}$
$\small \small \small \textup{giver }\beta\, 's\textup{ ligning med } n_\beta \textup{ anbragt i \textbf{\textit{Q}} naturligvis den samme planligning:}$

$\small \beta \textup{:}\; \; n_\beta \cdot \overrightarrow{QP}=0$

$\small \begin{pmatrix} 14\\39 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-(-2)\\y-0 \\ z-7 \end{pmatrix}=0$

$\small 14x+39y+4z+28-28=0$

$\small 14x+39y+4z=0$

Brugbart svar (0)

Svar #15
29. januar 2018 af ringstedLC

#13
#12 Det forstår jeg ikke helt.

Jeg har

Skæringspunkt mellem l og a $(-7,2,5)$

Retningsvektoren for l $(-5,2,-2)$

Så forstår jeg ikke hvordan kan jeg lave en retningsvektor mere? Jeg kan godt finde ud af at tage krydsproduktet, men jeg har svært ved at se hvad der er hvad og hvad jeg præcis skal.

Kan du forklare det måske i flere punkter?

Undskyld besværelsen, men jeg bliver nødt til at forstå det.

På forhånd tak

β indeholder l som giver dig sin retningsvektor og to punkter. Men du kan selvfølgelig ikke lave en plan udfra én linje.

Men β indeholder også (0,0,0) som ikke ligger på l. Og det er vigtigt for når β både skal "følge" l og "ramme" (0,0,0), kan den kun ligge på en måde. Omikron bruges så til at lave yderligere en vektor i planen fra (0,0,0) til skæringspunktet fra opg. a) eller l's faste punkt (-2,0,7). Nu har du nok til at lave en ligning for β. To (ikke parallelle) vektorer og hele tre punkter. Ligningen for en plan er så bare for overskuelighedens skyld udtrykt ved normalvektoren som beregnes ved krydsproduktet og det er oplagt at indsætte (0,0,0), men de to andre punkter er selvfølgelig ligeså rigtige.

Det er derfor, at du kan lave en plan med bare to retningsvektorer (en normalvektor) og ét punkt. Vektorerne giver planens orientering og punktet fastlægger positionen.

Skriv et svar til: Hjælp til en matematikopgave

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.