Matematik

Differentialligning

26. februar 2018 af Mikkeldkdk - Niveau: A-niveau

Skal løse differentialligningen y' - 2y = 2 uden hjælpemidler.

Har selv fundet frem til at det må være denne her formel/fremgangsmåde

y' = b-ay, hvor a ikke er lig 0

hvor den skal have den fuldstændige løsning y(t) = b/a + ce^-at hvor c er et tal.

Men er lidt i tvivl om hvordan de skal sættes ind i formlen og hvad der er hvad... kan i hjælpe?

Brugbart svar (1)

Svar #1
26. februar 2018 af Sveppalyf (Slettet)

y' - 2y = 2 <=>

y' = 2 + 2y <=>

y' = 2 - (-2)y

Så du har b = 2 og a = -2.

Brugbart svar (1)

Svar #2
26. februar 2018 af peter lind

Hvis du trækker -2y over på den anden side, kan du direkte aflæse a og b, b=2 og a=-2

Svar #3
26. februar 2018 af Mikkeldkdk

Det var også det jeg selv var kommet frem til. Men skal eftervise at cas løser problemet vha deSolve, og løse den uden cas.

deSolve(y' -2y = 2,x,y) giver y = c*e^2x-1

hvordan gør jeg det?

Brugbart svar (1)

Svar #4
26. februar 2018 af Sveppalyf (Slettet)

Du indsætter a=-2 og b=2 i formlen y(t) = b/a + ce^-at:

y(t) = 2/(-2) + ce^-(-2)t <=>

y(t) = -1 + ce^2t

hvilket er det samme resultat som du fandt med cas.

Svar #5
26. februar 2018 af Mikkeldkdk

Tak for hjælpen

Brugbart svar (0)

Svar #6
26. februar 2018 af AMelev

Der er vist nogen, der kan huske den formel, men den står i formelsamlingen til netforsøget, så hvis jeres klassse er tilmeldt det, må den være OK at anvende, selv om der er forlangt uden hjælpemidler.

Alternativt kan du gå den mere besværlige vej med separation af variable, men det er mig bekendt ikke uden-hjælpemiddel-stof.

$y' = 2y + 2 = 2(y+1)$ ⇔ Separation af variable NB! y ≠ -1

$\int \frac{1}{y+1}dy=\int 2dx$ ⇔ Substitution u = y + 1 ⇒ du = dy

$\int \frac{1}{u}dy=\int 2dx\Leftrightarrow ln(\left | u \right |)=2x + k\Leftrightarrow \left | u \right |=e^{2x+k} \Leftrightarrow u=\pm e^k\cdot e^{2x} \Leftrightarrow$ $y+1=c\cdot e^{2x}\Leftrightarrow y=c\cdot e^{2x}-1$

Svar #7
26. februar 2018 af Mikkeldkdk

Hvordan er det nu at man kommer fra

y' = 2 + 2y

til

y' = 2 - (-2)y

Brugbart svar (0)

Svar #8
26. februar 2018 af AMelev

- (-2) = +2

Svar #9
26. februar 2018 af Mikkeldkdk

Ja men så har jeg jo 2 + 2 og ikke 2 -(-2)

Brugbart svar (0)

Svar #10
26. februar 2018 af AMelev

Ja, du har y' = 2 -(-2)y, hvilket er præcis det samme som y' = 2 + 2y. Hvad er problemet?

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.