Matematik

Indskrænkelse af definitionsmængden

04. marts 2018 af petbau - Niveau: B-niveau

Jeg sidder med funktion g: $g(x) = x^{2}+3$

og bliver bedt om at indskrænke definintionsmængden, så g bliver injektiv, og beregne regneforskriften for $g^{-1}$

Hvis jeg har forstået begrebet injektiv korrekt, så svarer det til at forskellige værdier for x altid giver to forskellige værdier for y ( hvilket ikke er tilfældet her, da -2 og 2 giver 4 ved indsættelse i g)

Så indskrænker jeg definitionsmængden til kun at indeholde positive reelle tal og 0.

$Dm(g) =R+\cup (0)$

Er dette korrekt?

Nu prøver jeg at beregne $g^{-1}$

$g(x)=x^2+3$ , jeg indsætter y i stedet for g(x)

$y=x^2+3 \Rightarrow y-3 = x^{2} \Rightarrow \sqrt{y-3} = x$

$g^{-1}=\sqrt{x-3}$

Er dette korrekt? Og er følgende korrekt?

$Dm(g)=R+\cup \left \{ 0 \right \} og Vm(g) = \left [ 3,uendelig \right ]$

$Dm(g^{-1}= \left [ 3,uendelig \right ] , Vm(g^{-1})= R+\cup \left \{ 0 \right \}$

Jah, jeg ved godt, at jeg også er lidt udfordret mht til code(koks) equation editor

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. marts 2018 af peter lind

Tankegangen er god nok; men du udtrykker det forkert. Dm(g) = R₊∪{0} = {x∈R|x≥0}

Dm(g^-1)= Vm(g) = [3, ∞[ = {x|x≥3}

Brugbart svar (0)

Svar #2
04. marts 2018 af AMelev

En indskrænkelse af Dm, som du foreslår giver ganske rigtigt injektivitet. Du kunne også have taget R_-∪{0}.

Du har fat i den lange ende. At bestemme invers funktion er netop at løse ligningen ${\color{Red} g(x)=y\Leftrightarrow x=g^{-1}(y)}$

#0
$y=x^2+3 \Rightarrow y-3 = x^{2} {\color{Red} \Leftrightarrow }{\color{Yellow} \Rightarrow} \sqrt{y-3} = x{\color{Red} \Leftrightarrow g^{-1}(y)=\sqrt{y-3}}$

Husk variablen i din funktion
$g^{-1}{\color{Red} (x)}=\sqrt{x-3}$

NB! Graferne for en funktion og dens inverse er spejlinger af hinanden i linjen y = x, så du kan tjekke med grafværktøjet.

Svar #3
04. marts 2018 af petbau

Tusind tak Citér, ja ved godt, at min parentes var forkert (ku' ikke finde den rette).

aMelev, mht. negative reelle tal, er det faktisk et spørgsmål, jeg glemte at stille. Tak for din besvarelse og for dine rettelser, som jeg godt kan forstå.

God søndag til jer begge.

Kh Peter

Svar #4
04. marts 2018 af petbau

Så spejlingsaksen ville hedde -y = - x , hvis jeg havde valgt $R$ _- ?

Brugbart svar (1)

Svar #5
04. marts 2018 af AMelev

-y = -x ⇔ y = x - det er samme linje.

Svar #6
04. marts 2018 af petbau

Sorry :-), matematikkens luner, et minus på hver side ..., det er jo det samme

Brugbart svar (0)

Svar #7
04. marts 2018 af SuneChr

y som funktion af x givet ved forskriften
y = x² + 3
er ensbetydende med
|x| = $\sqrt{y-3}$
som giver to inverse funktioner:
x = $\sqrt{y-3}$ eller
x = - $\sqrt{y-3}$
Der skal da vælges, hvilken én af de to som skal være invers funktion til y = x² + 3

Skriv et svar til: Indskrænkelse af definitionsmængden

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.