Differentialligning

Det vides ikke hvilken hjælp, du har behov for. 

Beskriv så præcist som muligt hvad du har problemer med. Gør rede for hvad du ved, og hvad du ikke ved. På den måde undgår du, at lektiehjælperen bruger tid på at forklare ting, som du i forvejen er bekendt med. Dette illustrerer også, at du har tænkt over opgaven, hvilket ofte giver hurtigere og bedre svar.

Jeg har brug hjælp til hele opgaven. Jeg aner ikke hvordan jeg skal bestemme en forskrift ud fra de givne oplysninger. Jeg er på selvstudie og jeg har brug for en vejledende hånd til at få mig til at overordnet forstå differentialligninger.

Se http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/differentialligninger/logistisk-vakst

Der optræder 3 ubekendte, og du har 3 oplysninger til at bestemme dem.

Lettetst først at bruge y′=y(b−ay) på oplysningerne om f '(0) og f(0) og bestemme en sammenhæng mellem a og b. Derefter kan du knytte den sammen med oplysningen om øvre grænse og bestemme værdierne for a og b.
Når du har dem, kan du bestemme c ud fra oplysningen om f(0).

(Jeg  får a = 1, b = 3 og c = 2).

Den logistiske ligning:
                                                               M
                                          N(t)  = ----------------------
                                                      1 + C·e^(-a·M·t)

og
                                          dN/dt = a·N·(M - N)

Hvordan ville man opstille dette? Mit problem er, at jeg ikke kan sætte det i kontekst til det jeg læser. Jeg er stadigvæk i det stadie af differentialligninger, at jeg simpelthen ikke kan gennemskue tilgangsmåden. Det er meget jeg beder om, men hvis man simpelthen kunne skære det ud i pap for mig, ville dette nok være min eneste chance for at komme videre med mine opgaver.

Tak for hjælpen.

skrå vendetangent i (1.5;0.23)

Den logistiske ligning (i linket) hedder y′=y·(b−a·y) og løsningen er som angivet (formeleditoren her virker ikke pt., så jeg opgiver at skrive det).

At en funktion f er løsning, betyder, at hvis du sætter f '(x) ind i stedet for y' og f(x) ind i stedet for y, så passer det.

Du ved, at f er løsning og at f '(0) = 2 og f(0) = 1.
Hvis du indsætter det i ligningen, får du 2=1·(b−a·1) ⇔ 2 = b - a.

Desuden ved du fra linket, at den øvre grænse er b/a, og du har fået oplyst, at den er 3.
Dvs. b/a = 3 ⇔ b = 3a.
Dette resultat indsætter du i det tidligere resultat 2 = b - a ⇔ 2 = 3a - a ⇔ 2 = 2a ⇔ 1 = a og dermed b = 3.

Nu mangler du bare c. Definer f(x) som angivet i linket med a = 1 og b = 3 indsat og løs ligningen f(0) = 1 mht. c

eller

Den logistiske ligning:
                                                               b/a
                                          N(t)  = ----------------------
                                                      1 + C·e^(-b·t)

og
                                          dN/dt = N·(b - aN)                     b/a = M

Fornem forklaring. Det hjalp mig på flere af mine opgaver. Utroligt hvordan det kan forklares så enkelt.