Andengradsfunktion

Ud fra en tangentligning kan du bestemme koefficienterne via integration. Ud fra et toppunkt er koefficienterne givet på forhånd.

#1
Ud fra en tangentligning kan du bestemme koefficienterne via integration

Forskriften er integralet af f '(x). Men siger du man skal integrere t(x) = f '(x0)(x - x0) + f(x0) ? Hvad efter det?

Kender du røringspunktet for (x0,y0) tangenten?

Så ikke noget. Tangentligningen er differentialfunktionen af f. Så hvis tangentligningen integreres fås f.

Når man har f'(x), kan man finde de to koefficienter A og B i f(x) = Ax² + Bx + C. Der mangler så værdien af C. Den finder man ved at indsætte toppunktets x-koordinat for x og y-koordinaten som funktionsværdi:

Ax_T² + Bx_T + C = y_T.

#1 og #4 Den afledede funktion er tangenthældningen - ikke tangentligningen - og der er desuden uendelig mange stamfunktioner.
#5 Man har nok ikke f '(x) - kun tangenthældningen f '(x0)

#0 Jeg går her ud fra, at du kender røringspunktet for tangenten - hvis det ikke er tilfældet, må du give lyd.

Du ved, at hældningskoefficienten til tangenten er f '(x0) = 2a·x0+b. Der har du så 1 ligning med a og b  som ubekendte
Du ved også, at toppunktetets 1. koordinat x_T = -b/(2a). Så har du nr. 2 ligning med a og b som ubekendte.
Løs de to ligninger mht. a og b.

Brug så røringspunktets (hvis du kender det) eller toppunktets 2.koordinat til at bestemme c.

Se evt. vedhæftede eksempel.

#6 ??? Ja, den afledede funktion er tangenthældningen og ikke tangentligningen. Har jeg mon sagt det modsatte i #1?

Nej, men jeg kom til at forveksle dem i #4

#7 Nej, men hvordan vil du bestemme koeffitienterne ved integration - af hvad? Antallet af stamfunktioner var en kommentart til jer begge?
Desuden er koefficienterne da ikke fastlagt, bare fordi man kender toppunktet.

Hej alle og tak for svarene. 

Ja, jeg kender røringspunkterne for tangenten. Kan jeg bruge den samme fremgangsmetode i hånden fremfor et CAS-værktøj? 

Ja de to ligninger med to ubkendte a og b er forholdsvis nemme at løse i hånden, og så kan du jo tjekke med Cas-værktøjet. Det samme gælder bestemmelse af c, hvis du bruger 2.koordinaten til røringspunktet - med 2.koordinaten til toppunktet bliver det lidt mere bøvlet, men dog til at have med at gøre.
Se # 6.

Hvis toppunktet (x_T, y_T)  kendes, så kan forskriften skrives
  f(x) = a(x - x_T)² + y_T

hvor a fortsat er ubekendt, men du kan indsætte røringspunktet for tangenten (x₀, y₀) og isolerer a
  y₀ = a(x₀ - x_T)² + y_T    =>
  y₀ - y_T = a(x₀ - x_T)²     =>
  (y₀ - y_T)/(x₀ - x_T)² = a

For at finde a,b,c skal du indsætte toppunktets koordinater samt a i forskriften
  f(x) = a(x - x_T)² + y_T
og så gange parentesen ud 

Metoden i #12 er også fin, men den forudsætter, at du ved, at forskriften for 2.gradspolynomiet kan omskrives til  f(x) = a(x - x_T)² + y_T, og det er måske ikke lige den, der ligger forrest i hukommelsen.
De sammenhænge, der er anvendt #6 skal du alligevel kunne til prøven uden hjælpemidler, men metodevalget er helt og aldeles dit.

Ah, nu ser jeg min fejl - skulle have tænkt mere over opgaven. Metoden i #6 giver også bedre mening.

#13 Skal det forstås at eleven antages at kende (og kan anvende) metoden i #6 til en skriftlig prøve?  

#14 I pricippet ja, men ikke metoden som sådan, det er jo bare et spørgsmål om at kombinere velkendte (forhåbentlig) sammenhænge og metoder fra forskellige områder.
f '(x0) = tangenthældning i x0, toppunktsformel, løsning af to ligninger med to ubekendte og anvendelse af et grafpunkt til at bestemme fx c er alt sammen noget, der forudsættes kendt til prøven uden hjælpemidler efter gammel ordning.
Jeg tror dog ikke, en sådan opgave vil forekomme ved prøven uden hjælpemidler - der er nok for meget arbejde - men den kunne da være glimrende ved prøven med hjælpemidler.