Matematik

Integral og målteori

29. marts 2018 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude.
Jeg forsøger at løse en opgave, som er en gammel eksamens opgave.
Opgaven består af to spørgsmål, hvor jeg kunne klare den første spørgsmål, men jeg kan ikke klare den anden.

Vil nogen derude hjælpe med den andet spørgsmål?
På forhånd tak.
Opgaven lyder:

I denne opgave betegner $\mathbb{N}_0= \{0, 1, 2, . . .\}$ de naturlige tal og µ målet på $\mathbb{R} \times \mathbb{N}_0$ med tæthed
$f(x,y) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \ \frac{x^{2y}}{y!} \ e^{-2x^2} \ \text{for} \ x \in \mathbb{R} \ \text{og} \ y \in \mathbb{N}_0$
med hensyn til produktmålet $m \otimes \tau$ af lebesquemålet $m$ på $\mathbb{R}$ og tællemålet $\tau$ på $\mathbb{N}_0$ .
Du må uden videre benytte at
$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \ \text{for} \ x \in \mathbb{R}$
Endvidere kan det være en hjælp at huske at normalfordelingen $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ har tæthed mht lebesguemålet på $\mathbb{R}$ , givet ved
$f_{\sigma^2}(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \ \pi \sigma^2}} \ e^{\frac{x^2}{2 \ \sigma^2}} \ \text{for}\ x \in \mathbb{R}$
Spørgsmål 1. Vis at $\mu = f \cdot m \otimes \tau$ er et sandsynlighedmål på $\mathbb{R}\times \mathbb{N}_0$

Svar:
$\mu(\mathbb{R}\times \mathbb{N}_0)= \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{N}_0}f(x,y))d\tau(y) \ dm(x)=1$

Antag at $X$ og $Y$ er reelle stokastiske variable defineret på et fælles baggrundsrum $(\Omega, \mathcal{F},P)$ . Antag at simultanfordelingen af $(X, Y )$ er $\mu$ , dvs at $\mu = (X, Y )(P).$

Spørgsmål.2. Vis at

$P(Y=0)= \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Brugbart svar (1)

Svar #1
30. marts 2018 af fosfor

Indsæt y=0 i tætheden, og integrer over x:
$\int_{-\infty }^{\infty } \frac{e^{-2 x^2}}{\sqrt{\pi }} dx$

som passer med den i opgaven nævnte normalfordelingstæthed med σ = 1/2 og μ = 0
bortset fra en faktor
$\frac{1}{\sqrt{2}}$

som er svaret, da normalfordelingen skal integrere til 1.

Skriv et svar til: Integral og målteori

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.