Matematik

Monotoniforhold for eksponentialfunktioner

28. april 2018 af matematiksupplering (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej! Jeg har et spørgsmål i matematik, som lyder følgende:

"Forklar om den eksponentielle udvikling, ??(x) = ?? · ??^1, og om eksponentiel vækst. Bestem blandt andet monotoniforhold for eksponentialfunktioner ved hjælp af f'(x)."

Jeg er i tvivl om den sidste del. Jeg har været inde og læse en masse og kan godt vise, at f(x) = b*a^x1 er det samme som f(x) = b*e^kx, og herfra, at ?? vokser, hvis ?? > 0, er konstant hvis k=0 og aftager, hvis ?? < 0.

Men synes ikke rigtig jeg bestemmer monotoniforholdene vha. f'(x). Det er vel noget med at forklare, at en eksponentiel funktion ikke har ekstrumumspunkt og således enten altid er monotont voksende eller aftagende - men er i tvivl om, hvordan jeg gør dette ud fra f'(x)?

Håber mit spørgsmål giver mening.

På forhånd tak.

Svar #1
28. april 2018 af matematiksupplering (Slettet)

Der var der står spørgsmålstegn skla der selvfølgelig stå: f(x)=b*a^x1

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. april 2018 af ringstedLC

f'(x) ≠ 0 giver ingen ekstrema.

Svar #3
28. april 2018 af matematiksupplering (Slettet)

Tak, men kan du forklare dette lidt nærmere? Jeg skal nok have det skåret ud i pap, hvorfor dette er.

Brugbart svar (0)

Svar #4
28. april 2018 af ringstedLC

Når f'(x) = 0 ikke har nogen løsninger, har f(x) ingen ekstrema.

Brugbart svar (0)

Svar #5
28. april 2018 af mathon

$\small f(x)=b\cdot a^x\; \; \; \; \; \; a,b>0$
$\small \textup{dvs}$
$\small f(x)>0$

$\small f{\, }'(x)=b\cdot \ln(a)\cdot a^x=\ln(a)\cdot f(x)$

$\small \textbf{monotoni:}$
$\small \textup{for }0<a<1\textup{ er f(x) aftagende, da }\ln(a) < 0\textup{ og }f{\, }'(x)\textup{ dermed }<0.$
$\small \textup{for }a>1\textup{ er f(x) voksende, da }\ln(a) >0\textup{ og }f{\, }'(x)\textup{ dermed }>0.$

Svar #6
29. april 2018 af matematiksupplering (Slettet)

#4 Yes selve delen med f'(x) og f(x) forstår jeg. Men hvordan kan jeg se, at f'(x)=0 ikke har nogen løsninger. Jeg kan godt se det med mit CAS-værktøj, at der ingen løsninger er. Men hvis jeg skal forklare, hvordan man kan se, at den ikke kan løses - hvordan er det så?

Svar #7
29. april 2018 af matematiksupplering (Slettet)

Hænger det sammen med, at den afledede funktion er proportional med funktionen selv?

Brugbart svar (0)

Svar #8
29. april 2018 af mathon

$\small f(x)>0$

$\small \small f{\, }'(x)=b\cdot \ln(a)\cdot a^x=\ln(a)\cdot f(x)=k\cdot f(x)$

Svar #9
29. april 2018 af matematiksupplering (Slettet)

#8 - Ja det du satte ind der, viser, at den afledede funktion er proportional med funktionen selv ikke? Men forstår ikke hvad man kan sige ud fra det - det er der jeg mister den :D

Brugbart svar (0)

Svar #10
29. april 2018 af ringstedLC

Hvis:

$\begin{align*} f'(x)=0&\Rightarrow k\cdot f(x)=0\Downarrow\\ k=0&\vee f(x)=0 \end{align}$

og kan det forekomme?

Svar #11
29. april 2018 af matematiksupplering (Slettet)

Det tænker jeg, at det ikke kan nej, men jeg må indrømmme, at jeg ikke er 100% med på, hvorfor det ikke kan det....

Brugbart svar (0)

Svar #12
29. april 2018 af ringstedLC

$\begin{align*} k&=\ln(a)=0\Rightarrow a=1\Downarrow\\ f(x)&=b\cdot 1^x=b \end{align}$

Derfor fås de to monotoni-intervaller i #5.

$\begin{align*}f(x)&=0\\ b=0&\vee a^x=0\\ b=0&\vee a=\sqrt[x]0=0\\ \end{align}$

Tænk lige efter en gang; hvis funktionsværdien var nul og skulle vokse eksponentielt (...når x vokser med én, vokser f(x) med en bestemt procent), - nej vel?

Du har sikkert lavet en masse opgaver med eksponentiel vækst, heriblandt renteregning. Men du har formentlig aldrig skulle finde løsninger (rødder) eller skulle optimere (f '(x) = 0) dem.

Brugbart svar (0)

Svar #13
01. maj 2018 af mathon

#9
  Da f(x)>0 har $\small f(x)$ i $\small f{\, }'(x)=k\cdot f(x)$ ingen fortegnsændrende indflydelse på $\small f{\, }'(x)$ .
Fortegnet for $\small f{\, }'(x)$ er derfor alene afhængigt af fortegnet for $\small k.$
$\small \textup{hvoraf n\aa r }k\neq0$
   $\small \textup{for}$
   $\small k>0\textup{ er }f{\, }'(x)>0\textup{ og f(x) voksende}$
   $\small k<0\textup{ er }f{\, }'(x)<0\textup{ og f(x) aftagende}$

Skriv et svar til: Monotoniforhold for eksponentialfunktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.