Matematik

Interval

29. april 2018 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude. Jeg har en opgave, som jeg skal løse, men det sværste er en delproblem, som jeg ikke kan forstå.
Her følger delproblemet af opgaven, som har svært med.

Vi har givet:
$A_n = \left[ 0, \ \ \frac{n-1}{n} \right) \ \ \text{for} \ n \in \mathbb{N}$
Det er klar f.eks, at

$A_2 = \left[ 0, \ \ \frac{2-1}{2} \right) = \left[ 0, \ \ \frac{1}{2} \right)$

Problemet er med $n=1$

Altså hvad er
$A_1?$
$A_1 = \left[ 0, \ \ \frac{1-1}{1} \right) = \left[ 0, \ \ \frac{0}{1} \right) ?=[0,0)=?$
Vil nogen derude forklare hvad er $A_1$ ?

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. april 2018 af StoreNord

Et interval, der kun indeholder tallet 0.

Brugbart svar (1)

Svar #2
29. april 2018 af swpply (Slettet)

A₁ = {0}, altså mængden der kun indeholder elementet 0.

En mængde der kun indeholder ét enkelt element kaldes også en singelton.

Brugbart svar (0)

Svar #3
29. april 2018 af StoreNord

Jeg ville have indvendt, at 0 for mig ikke er et naturlig tal. Men se:
https://da.wikipedia.org/wiki/Naturligt_tal

Nåh nej, n må heller ikke være 0, for dèt kan man ikke dividere med..

Brugbart svar (1)

Svar #4
29. april 2018 af Drunkmunky

Som det står skrevet så er

$A_{1}=[0,0)=\lbrace x\in\mathbb{R}\ | \ 0\leq x< 0\rbrace=\varnothing$ ,

altså A₁ er den tomme mængde. Teksten kan så specificere hvorvidt A₁ er tom eller ej (altså om den er defineret anderledes end de andre, så man undgår en tom mængde)

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. april 2018 af swpply (Slettet)

#3
Jeg ville have indvendt, at 0 for mig ikke er et naturlig tal. Men se:
https://da.wikipedia.org/wiki/Naturligt_tal

God pointe StoreNord.

Rossa, da der ikke hærsker nogen universel konvention for hvorvidt om 0 er et ellement i $\mathbb{N}$ eller ej. Bør du kigge i din lærebog og se hvilken definition af de naturligetal de anvender. Der er som regel et par sider i en bog hvor de har listet de mest hyppigt brugte notationer.

mængden {0,1,2,3,...} kaldes også tit for de ikke negative hel tal (non-negative integers) for at gøre det klart at nul er indeholdt i mængden. Hvor mængden {1,2,3,...} betegnes de positive heltal.

Svar #6
29. april 2018 af Rossa

Det gør mig tvivlsom, da 0 er inkluderet på venstre side, mens på højre side er 0 ikke inkluderet.
Problemet med forståelsen er:
$[0,0)=\{0\}$

Konkluderer I, at
$A_1 = \left[ 0, \ \ \frac{1-1}{1} \right) = \left[ 0, \ \ \frac{0}{1} \right) =[0,0)=\{0\}$ ?

Brugbart svar (0)

Svar #7
29. april 2018 af guuoo2

$\\\text{}[0,0) \neq \{0\} \\\text{}[0,0) = \{\} =\emptyset$

Ingen steder bruges $\mathbb{N}$ til at betegne heltal større end eller lig 0. Altid kun de positive.

Brugbart svar (1)

Svar #8
29. april 2018 af StoreNord

Vi har givet:
$A_n = \left[ 0, \ \ \frac{n-1}{n} \right) \ \ \text{for} \ n \in \mathbb{N}$ Derfor er n selvfølgelig aldrig 0.

Første element, 0 er altid med i intervallet a₁.
For mig ser det ud som om den bløde parentes udelukker alle andre led end det første?
Eller hvad betyder den bløde parentes egentlig??

Brugbart svar (1)

Svar #9
29. april 2018 af StoreNord

Fandt selv svaret her:
https://da.wikipedia.org/wiki/Interval_(matematik)
En anden notation bruger både kantede parenteser og de "almindelige", runde parenteser, som alle vender "indad" mod tallene. Til gengæld bruges en kantet parentes ved siden af et endepunkt, der er med i intervallet og en rund parentes ved endepunkter der er uden for intervallet.

Svar #10
29. april 2018 af Rossa

StoreNord, det skyldes mig, da jeg gav dig ikke nok informationer til $A_n$ .

Altså:
$A_n = \left[ 0, \ \ \frac{n-1}{n} \right) = \left\{ x \in \mathbb{R } \ | 0 \leq x < \frac{n-1}{n} \right\} \ \ \text{for} \ n \in \mathbb{N}$
Altså som du siger, at endepunktet på højreside ")" er ikke inkluderet, mens på ventre side er det inkluderet "[".

Brugbart svar (1)

Svar #11
29. april 2018 af StoreNord

Tak. Det var rart at se, hvor x kom fra.
Så er der bare spørgsmålet, om a₁ indeholder 0, eller a₁ er den tomme mængde.

Svar #12
29. april 2018 af Rossa

Ja,
Men det er fint, i mit forståelse må $A_1 = \emptyset$ som Drunkmunky og guuoo2 mener, eller så må $A_1 = \{ 0 \}$

Brugbart svar (1)

Svar #13
30. april 2018 af SuneChr

0 ∉ N
{x | 0 ≤ x} ∩ {x | x < 0} = ∅
Der står ikke noget i opgaven om, at A_n skal starte karrieren for n = 1, men blot at n ∈ N .
Opgaven kunne tyde på, at grænseintervallet ønskes
A_n → ... for n → $\infty$

Brugbart svar (1)

Svar #14
30. april 2018 af SuneChr

Ethvert x der tilhører ∅ , tilhører også en vilkårlig mængde A.
∅ ⊆ A .
Vi har
∅ ⊆ A₂ ⊆ A₃ ⊆ ... ⊆ A_n ⊆ ...
eller
A₁ ⊆ A₂ ⊆ A₃ ⊆ ... ⊆ A_n ⊆ ...

Skriv et svar til: Interval

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.