Integral

Lad F (x) være en vilkårlig stamfunktion til f (x)
Da gælder
F '(x) = f (x)
Men der gælder også
(F (x) + c)' = f (x)  hvor c er et vilkårligt reelt tal
Mængden
{ F (x) | (F (x) + c)' = f (x)  ∧  c ∈ R }
er alle stamfunktioner til f (x) .

Sætn. F er stamfunktion til f. G er stamfunktion til f ⇔ G = F + c, hvor c er en konstant

Bevis 
⇒ Vides: G er stamfunktion til f     Skal vises: G = F + c

Når F og G begge er stamfunktioner til f, er F'(x) = f(x) = G'(x)
G'(x) = F'(x) ⇔ G'(x) - F'(x) = 0 ⇔ (G - F)'(x) = 0 ⇔ (G - F)(x) = c ⇔ 
G(x) - F(x) = c ⇔ G(x) = F(x) + c

 Vides: G(x) = F(x) + c      Skal vises: G er stamfu. til f
G'(x) = F'(x) = f(x) ⇒ G er stamfu. til f

Det betyder, at graferne for stamfunktionerne er F-grafen parallelforskudt c lodret.

Mht. anvendelse er det måske anvendelse generelt af stamfunktion, der menes, dvs. fx bestemmelse af stamfunktion, hvis graf går gennem et bestemt punkt, til arealberegning eller løsning af differentialligninger.

#2

Hvis jeg bare redegøre for sammenhængen, som han har gjort her . Fra  0:33 ? Vil det ikke gå? 

https://www.youtube.com/watch?v=eDPd87obunk

Og tak for forslagene hvad angår anvendelsen :)

Er det ikke det bestemte integrale man anvender til arealberegning? 

#3 Der er rigeligt at gå til inden for de andre punkter, så at nedprioritere punktet sammenhængen mellem forskellige stamfunktioner behøver slet ikke at være en fejlprioritering, men det kommer an på hvad du ellers vælger. Det vigtigste er at bevise substitution eller partiel integration for ubestemte integraler.

#4 Jo, hvorfor?

#3 Han redegør ikke for sammenhængen. Han siger bare, det er sådan.

#4 Jo, men til at bestemme det, skal du jo også bruge stamfunktion.

tak for jeres svar. 

#5 Det var bare mere fordi jeg fik foreslået, at jeg kunne nævne arealberegning, og der tænkte jeg, at udfaldet af det bestemte og ubestemte integrale er jo forskelligt, man får et tal i det første og en funktion i det sidste. 

#6 kan godt se hvad du mener. 

Vil det være nok hvis jeg vælger arealberegning, og bestemmelsen af stamfunktion når grafen går igennem et punkt, eller skal jeg også have det med at stamfunktioner også kan være en differentialligning osv. 

#6  Tiden til eksamen er bedst brugt ved bare at sige det, da det essentielle i redegørelsen er at bevise implikationen fra venstre til højre i det trin i #2 hvor der står  (G - F)'(x) = 0 ⇔ (G - F)(x) = c.

Hvis ikke man beviser den implikation kan det være det samme.

Er der ikke et andet spørgsmål der handler om arealer hvor du skal differentiere arealfunktionen?

#8 og #6 Jeg læser spørgsmålet som et krav om redegørelse for alle tre ting. og det kræver bevis for sætningerne.
Beviserne for regnereglerne er små, og der er i princippet kun 3, hvis I ikke har leget med partiel integration, så jeg vil mene, det hele kan klares på rimelig tid.
Hvis du er usikker på, om du kan nå det hele, og gerne vil have regnereglerne med, så sig, at "Sammenhængen ..... er ...., og det vil jeg vise, hvis der er tid". 
Så kan du vende tilbage, når du har taget det, du har valgt skal have 1. prioritet - det gælder alle spørgsmål.
Sætningen f(x) = 0 ⇔ F(x) = c (omtalt af #8 og anvendt i #2) skal du ikke give dig i kast med at bevise - den har I fået foræret i gymnasiet - men du kan argumentere for den med, at hvis væksthastigheden er 0, så må funktionen være konstant.

Mht. anvendelser kan du godt nøjes med arealbestemmelse
og bestemmelse af stamfunktion ud fra grafpunkt, men vær forberedt på, at der måske spørges ind til, om de ikke også fx anvendes til løsning af differentialligninger - specielt ved separation af variable - så godt at have den i baghånden.