Matematik

Bevis regneregler for stamfunktioner

13. juni 2018 af benj232 - Niveau: B-niveau

Har en opgave der lyder på: "Bevis regneregler for stamfunktioner og det besmte integrale".

Jeg har bevist regneregler for det bestemte integral, men har lidt svært ved at finde nogle regneregler for stamfunktioner

Svar #1
13. juni 2018 af benj232

Er det bare nogle af disse her jeg har vedhæftet jeg skal bevise

Vedhæftet fil:csm_p13tabel_d1976d32ed.png

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. juni 2018 af Festino

Når der står "Bevis regneregler for stamfunktioner", så tror jeg, at der tænkes på følgende: Hvis $f$ og $g$ er integrable funktioner, og $c$ er en konstant, så er også $f+g$ og $cf$ integrable funktioner, og der gælder

$\int (f+g)(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$

samt

$\int (cf)(x)\,dx=c\int f(x)\,dx$

Du kan også komme ind på delvis integration. Hvis $f$ har stamfunktionen $F$ , så kan vi omskrive integralet af produktet $fg$ ved hjælp af følgende regel

$\int f(x)g(x)\,dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)\,dx$ .

Som en anvendelse af reglen, kan du demonstrere, at

$\int \ln(x)\,dx=\int 1\cdot \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+k$ ,

hvor $k$ er en integrationskonstant. Du kan også komme ind på integration ved substitution.

Brugbart svar (0)

Svar #3
13. juni 2018 af guuoo2

Enig med #2 og angående det bestemte integrale tænkes der nok på
$\int_a^c f(x)dx=\int_a^b f(x)dx+\int_b^c f(x)dx$
indskudsreglen om man vil

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. juni 2018 af Festino

samt

$\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$

som vi kan kalde ombytningsreglen.

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. juni 2018 af AMelev

#1 Nej, det er ikke regneregler, det er stamfunktioner til specielle funktioner
Regnereglerne for stamfunktioner er
a) ∫(f±g)(x) dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx = F(x) ± G(x),
b) ∫∫(c·f)(x) dx = c·∫f(x) dx = c·F(x)
c) ∫((x)·g'(x) dx = F(g(x)) Sammensat funktion
d) ∫f(x)·g'(x) dx = f(x)·g(x) - ∫f '(x)·g(x) dx Partiel integration, men hvis i ikke har haft den, skal du nok ikke tage den med.
De bevises alle vha. integrationsprøven og regnereglerne for differentiation.

Regneregler for bestemte integraler
a), b) og d) bare med grænser. De vises ud fra def. af bestemt integral og regnereglerne ovenfor.
c) Integration ved substitution udvikles dog lidt: $\int_{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)dx=\left [ F(g(x)) \right ]_{a}^{b}=F(g(b))-F(g(a)) =\int_{g(a)}^{g(b)}f(t)dt$ , hvor t kan betragtes som g(x) og dt som g'(x)dx.

Desuden er der for bestemte integraler
e) $\int_{a}^{b}f(x) dx=\int_{a}^{c}f(x) dx + \int_{c}^{b}f(x) dx$ Indskudsreglen

f) $\int_{a}^{b}f(x) dx=-\int_{b}^{a}f(x) dx$
De vises ud fra def. på bestemt integral

Skriv et svar til: Bevis regneregler for stamfunktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.